Descreva todos os poliedros que possuem 10 arestas.
Passo 1
O enunciado pede para listar todos os poliedros (convexos) que têm
arestas. Vamos usar a fórmula de Euler para poliedros, as contagens de grau de vértices e de faces, e as restrições mínimas de grau (cada face tem pelo menos
arestas, cada vértice tem pelo menos
arestas).
Passo 2
A fórmula de Euler diz
onde
é o número de vértices,
é o número de arestas e
é o número de faces. Logo
Passo 3
Cada face de um poliedro convexo tem pelo menos
arestas, e a soma dos graus das faces vale duas vezes o número de arestas:
com cada
. Isso implica
Passo 4
De modo análogo, cada vértice tem grau (número de arestas incidentes) pelo menos
, e a soma dos graus dos vértices também é
:
com cada
. Daí
Passo 5
Como
e
,
, a única solução inteira é
Agora, as condições de soma de graus dão:
Ou seja, distribuímos
unidades extras entre as
faces. As partições possíveis de
são
- quatro faces triangulares e duas quadrangulares, ou
- cinco triangulares e uma pentagonal.
Analogamente para os vértices temos excesso
, que pode corresponder a dois vértices de grau
ou a um de grau
e outros de grau
.
Passo 6
A configuração “quatro triângulos
duas quadriláteros” não gera um grafo planar conforme as restrições de grau em todos os vértices. A única possibilidade realizável é “cinco triângulos
um pentágono” nas faces, e no vértice correspondente à base pentagonal o grau é
, nos demais é
. Geometricamente, isso corresponde precisamente à pirâmide de base pentagonal:
-
faces ( pentágono triângulos), -
vértices ( vértice-apex de grau vértices da base de grau ), -
arestas.
Resposta
O único poliedro convexo com
arestas é a pirâmide de base pentagonal (um pentágono na base e cinco faces triangulares laterais).