Descreva todos os poliedros que possuem 10 arestas.

Passo 1

O enunciado pede para listar todos os poliedros (convexos) que têm E=10 arestas. Vamos usar a fórmula de Euler para poliedros, as contagens de grau de vértices e de faces, e as restrições mínimas de grau (cada face tem pelo menos 3 arestas, cada vértice tem pelo menos 3 arestas).

Passo 2

A fórmula de Euler diz
V - E + F = 2,
onde V é o número de vértices, E=10 é o número de arestas e F é o número de faces. Logo
V + F = 2 + E = 2 + 10 = 12.

Passo 3

Cada face de um poliedro convexo tem pelo menos 3 arestas, e a soma dos graus das faces vale duas vezes o número de arestas:
\sum_{i=1}^{F} f_i = 2E = 20,
com cada f_i\ge3. Isso implica
3F \le 20 \quad\Longrightarrow\quad F \le \left\lfloor \tfrac{20}{3}\right\rfloor = 6.

Passo 4

De modo análogo, cada vértice tem grau (número de arestas incidentes) pelo menos 3, e a soma dos graus dos vértices também é 2E=20:
\sum_{j=1}^{V} d_j = 20,
com cada d_j\ge3. Daí
3V \le 20 \quad\Longrightarrow\quad V \le \left\lfloor \tfrac{20}{3}\right\rfloor = 6.

Passo 5

Como V+F=12 e V\le6, F\le6, a única solução inteira é
V=6, \quad F=6.
Agora, as condições de soma de graus dão:
\sum f_i =20,\;F=6,\;f_i\ge3 \quad\Longrightarrow\quad \text{excesso}=20-3\cdot6=2.
Ou seja, distribuímos 2 unidades extras entre as 6 faces. As partições possíveis de (f_i) são
  • quatro faces triangulares e duas quadrangulares, ou
  • cinco triangulares e uma pentagonal.
Analogamente para os vértices temos excesso 20-3\cdot6=2, que pode corresponder a dois vértices de grau 4 ou a um de grau 5 e outros de grau 3.

Passo 6

A configuração “quatro triângulos + duas quadriláteros” não gera um grafo planar conforme as restrições de grau em todos os vértices. A única possibilidade realizável é “cinco triângulos + um pentágono” nas faces, e no vértice correspondente à base pentagonal o grau é 5, nos demais é 3. Geometricamente, isso corresponde precisamente à pirâmide de base pentagonal:
  • F=6 faces ( 1 pentágono + 5 triângulos),
  • V=6 vértices ( 1 vértice-apex de grau 5+ 5 vértices da base de grau 3),
  • E=10 arestas.

Resposta

O único poliedro convexo com 10 arestas é a pirâmide de base pentagonal (um pentágono na base e cinco faces triangulares laterais).

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