Um poliedro convexo P possui A arestas, V vértices e F faces. Com bases em cada uma das faces constroem-se pirâmides com vértices exteriores a P . Fica formado então um poliedro \mathrm{P}^{\prime} que só possui faces triangulares. Determine os números de arestas, faces e vértices de \mathrm{P}^{\prime}.

Passo 1

O enunciado nos dá um poliedro convexo P com V vértices, A arestas e F faces. Em cada face construímos uma pirâmide com vértice exterior, formando um novo poliedro P' que possui somente faces triangulares. Precisamos determinar o número de vértices, arestas e faces de P'.

Passo 2

Para contar os vértices, mantemos os V vértices originais de P e ainda adicionamos um vértice-apex para cada uma das F faces.
Portanto,
V' = V + F.

Passo 3

Para as arestas, começamos com as A arestas originais de P. Em cada face de P com k_i arestas adicionamos outras k_i arestas ligando o vértice-apex aos vértices da base. Somando em todas as faces,
\sum_{i=1}^{F} k_i = 2A,
pois cada aresta original pertence a exatamente duas faces. Assim temos 2A arestas novas, e
A' = A + 2A = 3A.

Passo 4

Cada face de P com k_i arestas origina k_i faces triangulares em P'. Logo o número total de faces triangulares é
\sum_{i=1}^{F} k_i = 2A,
ou seja,
F' = 2A.

Resposta

V' = V + F
A' = 3A
F' = 2A

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