Prove que:
A soma dos quadrados de dois inteiros ímpares não pode ser um quadrado perfeito.
A soma dos quadrados de dois inteiros ímpares não pode ser um quadrado perfeito.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dados dois inteiros ímpares, a soma dos seus quadrados nunca é um quadrado perfeito. O conteúdo aqui envolve paridade de números e restos módulo 4: vamos usar a representação de números ímpares e analisar quadrados módulo 4.
Passo 2
Qualquer inteiro ímpar pode ser escrito como
e
, com
inteiros.
Passo 3
Vamos calcular os quadrados desses ímpares:
Logo,
também é congruente a 1 módulo 4.
Passo 4
Somando os dois quadrados, obtemos
Passo 5
Sabemos que todo quadrado perfeito
satisfaz
pois se
Passo 6
Como
e nenhum quadrado é
módulo 4, concluímos que a soma dos quadrados de dois ímpares não pode ser um quadrado perfeito.
Resposta
Como
e quadrados perfeitos só podem ser
ou
módulo 4, a soma dos quadrados de dois inteiros ímpares não é um quadrado perfeito.