Prove que:
A soma dos quadrados de dois inteiros ímpares não pode ser um quadrado perfeito.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dados dois inteiros ímpares, a soma dos seus quadrados nunca é um quadrado perfeito. O conteúdo aqui envolve paridade de números e restos módulo 4: vamos usar a representação de números ímpares e analisar quadrados módulo 4.

Passo 2

Qualquer inteiro ímpar pode ser escrito como m = 2k + 1 e n = 2ell + 1, com k,ell inteiros.

Passo 3

Vamos calcular os quadrados desses ímpares:
m^2 = (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 4(k^2+k) + 1
Logo, m^2 deixa resto 1 ao ser dividido por 4. De modo análogo,
n^2 = (2ell+1)^2 = 4(ell^2+ell) + 1
também é congruente a 1 módulo 4.

Passo 4

Somando os dois quadrados, obtemos
m^2 + n^2 equiv 1 + 1 = 2 pmod4

Passo 5

Sabemos que todo quadrado perfeito p^2 satisfaz
p^2 equiv 0 ou 1 pmod4,
pois se p é par, p^2equiv0pmod4, e se p é ímpar, p^2equiv1pmod4.

Passo 6

Como m^2+n^2equiv2pmod4 e nenhum quadrado é 2 módulo 4, concluímos que a soma dos quadrados de dois ímpares não pode ser um quadrado perfeito.

Resposta

Como m^2 + n^2equiv2pmod4 e quadrados perfeitos só podem ser 0 ou 1 módulo 4, a soma dos quadrados de dois inteiros ímpares não é um quadrado perfeito.

Exercícios relacionados