Prove que:
A diferença de dois cubos de inteiros consecutivos não é divisível por 2.

Passo 1

Estamos vendo um exercício de matemática que pede para provar que a diferença entre os cubos de dois inteiros consecutivos não é divisível por 2. Basicamente, vamos usar conceitos de álgebra e propriedades de números pares e ímpares para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos representar os dois inteiros consecutivos como $ n $ e $ n+1 $, onde $ n $ é um número inteiro qualquer.

Passo 3

Agora, calculamos os cubos desses números:
  • O cubo de $ n $ é $ n^3 $.
  • O cubo de $ n+1 $ é $ (n+1)^3 $.

Passo 4

Vamos encontrar a diferença entre esses cubos:
(n+1)^3 - n^3
Expandindo $ (n+1)^3 $:
(n+1)^3

Passo 5

Agora, analisamos a expressão $ 3n^2 + 3n + 1 $ para ver se é divisível por 2. Vamos verificar se ela é par ou ímpar.

Passo 6

Observamos que $ 3n^2 $ e $ 3n $ são múltiplos de 3, mas nosso foco é a paridade:
  • Se $ n $ for par, tanto $ n^2 $ quanto $ n $ serão pares, então $ 3n^2 + 3n $ será par.
  • Se $ n $ for ímpar, $ n^2 $ também será ímpar, e $ 3n^2 + 3n $ será par novamente.

Passo 7

Independentemente de $ n $ ser par ou ímpar, $ 3n^2 + 3n $ sempre resulta em um número par. Ao adicionar 1 a um número par, o resultado será ímpar.

Passo 8

Como $ 3n^2 + 3n + 1 $ é sempre ímpar, concluímos que a diferença entre os cubos de dois inteiros consecutivos não é divisível por 2.

Resposta

A diferença entre os cubos de dois inteiros consecutivos $ n $ e $ n+1 $ resulta sempre em um número ímpar, portanto, não é divisível por 2.

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