Prove que:
A diferença de dois cubos de inteiros consecutivos não é divisível por 2.
A diferença de dois cubos de inteiros consecutivos não é divisível por 2.
Passo 1
Estamos vendo um exercício de matemática que pede para provar que a diferença entre os cubos de dois inteiros consecutivos não é divisível por 2. Basicamente, vamos usar conceitos de álgebra e propriedades de números pares e ímpares para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos representar os dois inteiros consecutivos como $ n $ e $ n+1 $, onde $ n $ é um número inteiro qualquer.
Passo 3
Agora, calculamos os cubos desses números:
- O cubo de $ n $ é $ n^3 $.
- O cubo de $ n+1 $ é $ (n+1)^3 $.
Passo 4
Vamos encontrar a diferença entre esses cubos:
Expandindo $ (n+1)^3 $:
Passo 5
Agora, analisamos a expressão $ 3n^2 + 3n + 1 $ para ver se é divisível por 2. Vamos verificar se ela é par ou ímpar.
Passo 6
Observamos que $ 3n^2 $ e $ 3n $ são múltiplos de 3, mas nosso foco é a paridade:
- Se $ n $ for par, tanto $ n^2 $ quanto $ n $ serão pares, então $ 3n^2 + 3n $ será par.
- Se $ n $ for ímpar, $ n^2 $ também será ímpar, e $ 3n^2 + 3n $ será par novamente.
Passo 7
Independentemente de $ n $ ser par ou ímpar, $ 3n^2 + 3n $ sempre resulta em um número par. Ao adicionar 1 a um número par, o resultado será ímpar.
Passo 8
Como $ 3n^2 + 3n + 1 $ é sempre ímpar, concluímos que a diferença entre os cubos de dois inteiros consecutivos não é divisível por 2.
Resposta
A diferença entre os cubos de dois inteiros consecutivos $ n $ e $ n+1 $ resulta sempre em um número ímpar, portanto, não é divisível por 2.