Calcule as seguintes integrais triplas iteradas:
onde
é a região limitada pelo cilindro
e pelos planos
e
no primeiro octante.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla
onde
é a região no primeiro octante limitada pelo cilindro
e pelos planos
O conteúdo é integração múltipla em coordenadas retangulares. Vamos escolher a ordem de integração
e determinar os limites de cada variável.
Passo 2
Para um
fixo, o cilindro impõe
Para um
fixo, o plano
e
dão
Finalmente, pelo cilindro,
varia de
Logo a integral fica
Passo 3
Integramos primeiro em
:
Assim
Passo 4
Agora integramos em
:
Portanto
Passo 5
Chamemos
Fica
Passo 6
Fazemos a substituição trigonométrica
Então
e
Passo 7
Usando a fórmula
obtemos
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