Calcule as seguintes integrais triplas iteradas:
integral triplaR y d V onde R é a região limitada pelo cilindro y^2+z^2=9 e pelos planos x=0, y=3 x e z=0 no primeiro octante.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
integral triplaRy,dV
onde R é a região no primeiro octante limitada pelo cilindro
;y^2+z^2=9
e pelos planos
;x=0, y=3x, z=0
O conteúdo é integração múltipla em coordenadas retangulares. Vamos escolher a ordem de integração dx,dy,dz e determinar os limites de cada variável.

Passo 2

Para um z fixo, o cilindro impõe
0<= y<= raiz9-z^2
Para um y fixo, o plano x=0 e y=3x dão
0<= x<= y3
Finalmente, pelo cilindro, z varia de
0<= z<= 3
Logo a integral fica
integral triplaRy,dV =integralz=0^3integraly=0^raiz9-z^2integralx=0^y/3y,dx,dy,dz

Passo 3

Integramos primeiro em x:
integral0^y/3y,dx =yl[xr]0^y/3 =ycdoty3 =y^23
Assim
integral triplaRy,dV =integral0^3integral0^raiz9-z^2y^23,dy,dz

Passo 4

Agora integramos em y:
integral0^raiz9-z^2y^23,dy =13,y^33l]0^raiz9-z^2 =19l(9-z^2r)^3/2
Portanto
integral triplaRy,dV =19integral0^3l(9-z^2r)^3/2dz

Passo 5

Chamemos
I=integral0^3l(9-z^2r)^3/2dz
Fica
integral triplaRy,dV =19I

Passo 6

Fazemos a substituição trigonométrica
z=3sintheta, dz=3costheta,dtheta, theta:0topi2
Então
9-z^2=9cos^2theta Rightarrow (9-z^2)^3/2=27cos^3theta,
e
I =integral0^pi/227cos^3theta,(3costheta),dtheta =81integral0^pi/2cos^4theta,dtheta

Passo 7

Usando a fórmula
integral0^pi/2cos^4theta,dtheta =3pi16,
obtemos
I =81cdot3pi16 =243pi16
Logo
integral triplaRy,dV =19,I =19,243pi16 =27pi16

Resposta

boxed27pi16

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