Prove que somando-se 1 ao produto de quatro números naturais consecutivos o resultado será sempre um quadrado perfeito.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, dados quatro números naturais consecutivos n, n+1, n+2, n+3, o valor n(n+1)(n+2)(n+3) + 1 é sempre um quadrado perfeito. Vamos usar conteúdo de polinômios, fatoração e identidades de quadrado perfeito.

Passo 2

Primeiro, note que podemos agrupar a multiplicação em dois pares de termos:
n(n+3) = n^2 + 3n e
(n+1)(n+2) = n^2 + 3n + 2.
Dessa forma,

Passo 3

Agora, seja m = n^2 + 3n. Então a expressão acima fica
m(m+2) = m^2 + 2m

Passo 4

Logo, somando 1 ao produto, temos
m^2 + 2m + 1 = (m+1)^2

Passo 5

Voltando à variável n, isso significa que
n(n+1)(n+2)(n+3) + 1 = (n^2 + 3n + 1)^2, o que mostra que o resultado é sempre um quadrado perfeito.

Resposta

n(n+1)(n+2)(n+3) + 1 = (n^2 + 3n + 1)^2

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