Prove que somando-se 1 ao produto de quatro números naturais consecutivos o resultado será sempre um quadrado perfeito.
Passo 1
O enunciado pede para provar que, dados quatro números naturais consecutivos
, o valor
é sempre um quadrado perfeito. Vamos usar conteúdo de polinômios, fatoração e identidades de quadrado perfeito.
Passo 2
Primeiro, note que podemos agrupar a multiplicação em dois pares de termos:
e
.
Dessa forma,
Dessa forma,
Passo 3
Agora, seja
. Então a expressão acima fica
Passo 4
Logo, somando 1 ao produto, temos
Passo 5
Voltando à variável
, isso significa que
Resposta
n(n+1)(n+2)(n+3) + 1 = (n^2 + 3n + 1)^2