Supondo 3 x <= f(x) <= x^3+2 para 0 <= x <= 2, calcule lim x 1 f(x).

Passo 1

O problema nos diz que para todo x em [0,2] vale a dupla desigualdade 3x <= f(x) <= x^3+2 e pede limxto1f(x). O conteúdo aqui é o Teorema do Confronto (ou do Encavalamento), que diz o seguinte: se g(x)<= f(x)<= h(x) perto de x=1 (exceto talvez em 1) e limxto1g(x)=limxto1h(x)=L, então limxto1f(x)=L.

Passo 2

Antes de aplicar o teorema, calculamos os limites das funções que “confrontam” f(x). Temos
limxto13x = 3 e
limxto1(x^3+2) = 1^3+2 = 3.

Passo 3

Como ambas as funções-limite dão o mesmo valor, podemos usar o Teorema do Confronto: f(x) está “encavalada” entre 3x e x^3+2, e ambas tendem a 3 quando x→1, logo f(x) também tende a 3.

Resposta

3

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