Prove que se
é aberto então:
a)
é aberto;
(b)
é aberto se
é fechado.
a)
(b)
Passo 1
O enunciado dá que
é aberto. Precisa-se provar duas coisas:
(a) Mostrar que
é aberto. Aqui
significa o conjunto diferença
(os pontos de
que não pertencem a
).
(b) Mostrar que
é aberto quando
é fechado. Aqui
significa
.
Informações relevantes fornecidas:
-
é aberto (portanto, para cada existe com ). - Em (a) aparece o conjunto
(os inteiros). - Em (b) aparece um conjunto
que é fechado (ou seja, seu complementar em é aberto).
Passo 2
Relembrando definições básicas (úteis para a prova):
-
Definição de aberto: um conjunto
é aberto se, para todo , existe tal que . -
Definição de fechado: um conjunto
é fechado se o seu complementar é aberto. (Esta é uma equivalência padrão e vamos usá-la.) -
Propriedade útil: a interseção de dois conjuntos abertos é aberta. Vou provar isso rapidamente porque vou usar.
Prova curta da propriedade: sejam
e
abertos e tome
. Como
é aberto existe
com
. Como
é aberto existe
com
. Tomando
obtemos
. Como
foi arbitrário,
é aberto.
Passo 3
Provar que
é fechado (isso resolve (a) como caso particular).
Queremos mostrar que
é aberto. Tome
; isto é,
não é inteiro. Seja
(a parte inteira de
). Defina a parte fracionária
. Como
não é inteiro, tem-se
.
A distância de
ao inteiro mais próximo é
Observe que
. Agora considere o intervalo aberto centrado em
com raio
:
Qualquer ponto
nesse intervalo satisfaz
, então
e, analogamente, a distância a qualquer outro inteiro é maior que zero; em particular não há inteiros nesse intervalo. Logo
. Isso mostra que para cada
existe um intervalo aberto em torno de
contido em
. Portanto
é aberto e, por definição,
é fechado.
(Aqui a ideia concretiza: inteiros são pontos isolados — entre dois inteiros consecutivos há um intervalo sem inteiros.)
Passo 4
Concluir a parte (a) usando o resultado do passo anterior.
Note que
Pelo enunciado
é aberto e, pelo Passo 3,
é aberto. Como a interseção de dois conjuntos abertos é aberta (Passo 2), segue que
é aberto. Assim (a) está provada.
Passo 5
Provar a parte (b) para um conjunto
fechado (caso geral).
Se
é fechado então, por definição,
é aberto. Igual ao raciocínio do Passo 4, observamos
Como
é aberto e
é aberto, a interseção é aberta. Logo
é aberto. Isso termina a prova de (b).
Passo 6
Comentário final e exemplo ilustrativo (para fixar a ideia): se
e
(ou seja, um singleton, que é fechado em
), então
que é aberto, conforme a generalidade provada. No caso de
, é apenas a situação com
.
Resposta
(a)
é aberto.
(b) é aberto se
é fechado.
(b)