Prove que se A \subset \mathbb{R} é aberto então:
a) A-\mathbb{Z} é aberto;
(b) A-F é aberto se F é fechado.

Passo 1

O enunciado dá que A \subset \mathbb{R} é aberto. Precisa-se provar duas coisas:
(a) Mostrar que A-\mathbb{Z} é aberto. Aqui A-\mathbb{Z} significa o conjunto diferença A\setminus\mathbb{Z} (os pontos de A que não pertencem a \mathbb{Z}).
(b) Mostrar que A-F é aberto quando F é fechado. Aqui A-F significa A\setminus F.
Informações relevantes fornecidas:
  • A é aberto (portanto, para cada x\in A existe \varepsilon>0 com (x-\varepsilon,x+\varepsilon)\subset A).
  • Em (a) aparece o conjunto \mathbb{Z} (os inteiros).
  • Em (b) aparece um conjunto F que é fechado (ou seja, seu complementar em \mathbb{R} é aberto).

Passo 2

Relembrando definições básicas (úteis para a prova):
  • Definição de aberto: um conjunto U\subset\mathbb{R} é aberto se, para todo x\in U, existe \varepsilon>0 tal que (x-\varepsilon,x+\varepsilon)\subset U.
  • Definição de fechado: um conjunto F\subset\mathbb{R} é fechado se o seu complementar \mathbb{R}\setminus F é aberto. (Esta é uma equivalência padrão e vamos usá-la.)
  • Propriedade útil: a interseção de dois conjuntos abertos é aberta. Vou provar isso rapidamente porque vou usar.
Prova curta da propriedade: sejam U e V abertos e tome x\in U\cap V. Como U é aberto existe \varepsilon_1>0 com (x-\varepsilon_1,x+\varepsilon_1)\subset U. Como V é aberto existe \varepsilon_2>0 com (x-\varepsilon_2,x+\varepsilon_2)\subset V. Tomando \varepsilon=\min(\varepsilon_1,\varepsilon_2)>0 obtemos (x-\varepsilon,x+\varepsilon)\subset U\cap V. Como x foi arbitrário, U\cap V é aberto.

Passo 3

Provar que \mathbb{Z} é fechado (isso resolve (a) como caso particular).
Queremos mostrar que \mathbb{R}\setminus\mathbb{Z} é aberto. Tome x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Z}; isto é, x não é inteiro. Seja n=\lfloor x\rfloor (a parte inteira de x). Defina a parte fracionária \alpha = x-n. Como x não é inteiro, tem-se 0<\alpha<1.
A distância de x ao inteiro mais próximo é
d=\min\bigl(\alpha,\,1-\alpha\bigr).
Observe que d>0. Agora considere o intervalo aberto centrado em x com raio d/2:
\bigl(x-\tfrac{d}{2},\,x+\tfrac{d}{2}\bigr).
Qualquer ponto y nesse intervalo satisfaz |y-x|<d/2, então |y-n|\ge|x-n|-|y-x|>\,d-d/2=d/2 e, analogamente, a distância a qualquer outro inteiro é maior que zero; em particular não há inteiros nesse intervalo. Logo \bigl(x-\tfrac{d}{2},x+\tfrac{d}{2}\bigr)\subset\mathbb{R}\setminus\mathbb{Z}. Isso mostra que para cada x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Z} existe um intervalo aberto em torno de x contido em \mathbb{R}\setminus\mathbb{Z}. Portanto \mathbb{R}\setminus\mathbb{Z} é aberto e, por definição, \mathbb{Z} é fechado.
(Aqui a ideia concretiza: inteiros são pontos isolados — entre dois inteiros consecutivos há um intervalo sem inteiros.)

Passo 4

Concluir a parte (a) usando o resultado do passo anterior.
Note que
A\setminus\mathbb{Z}=A\cap(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Z}).
Pelo enunciado A é aberto e, pelo Passo 3, \mathbb{R}\setminus\mathbb{Z} é aberto. Como a interseção de dois conjuntos abertos é aberta (Passo 2), segue que A\setminus\mathbb{Z} é aberto. Assim (a) está provada.

Passo 5

Provar a parte (b) para um conjunto F fechado (caso geral).
Se F é fechado então, por definição, \mathbb{R}\setminus F é aberto. Igual ao raciocínio do Passo 4, observamos
A\setminus F = A\cap(\mathbb{R}\setminus F).
Como A é aberto e \mathbb{R}\setminus F é aberto, a interseção é aberta. Logo A\setminus F é aberto. Isso termina a prova de (b).

Passo 6

Comentário final e exemplo ilustrativo (para fixar a ideia): se A=(0,3) e F=\{1\} (ou seja, um singleton, que é fechado em \mathbb{R}), então
A\setminus F=(0,1)\cup(1,3),
que é aberto, conforme a generalidade provada. No caso de \mathbb{Z}, é apenas a situação com F=\mathbb{Z}.

Resposta

(a) A-\mathbb{Z} é aberto.
(b) A-F é aberto se F é fechado.

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