Em topologia definimos a fronteira de um conjunto A por \partial A=\bar{A}-A^{\circ}.
(a) \partial \mathbb{Z};
Passo 1
O enunciado pede para calcular a fronteira do conjunto \mathbb{Z}. Foi dada a definição
\partial A=\overline{A}-A^{\circ},
ou seja, a fronteira de A é a diferença entre o fecho de A e o interior de A. Vou trabalhar com \mathbb{Z} como subconjunto de \mathbb{R} munido da topologia usual (vizinhanças são intervalos abertos). Não há outras informações no enunciado.
Passo 2
Definição e ideia do fecho: o fecho \overline{A} de um conjunto A\subset\mathbb{R} é o conjunto de todos os pontos x\in\mathbb{R} tais que toda vizinhança de x (isto é, todo intervalo aberto centrado em x) intersecta A. Em linguagem alternativa, \overline{A} é A junto com todos os pontos-limite de A. Um ponto-limite de A é um ponto x em que qualquer intervalo aberto ao redor de x contém algum ponto de A diferente possivelmente de x mesmo.
Passo 3
Cálculo de \overline{\mathbb{Z}}.
Primeiro, todo n\in\mathbb{Z} pertence a \overline{\mathbb{Z}}, porque qualquer vizinhança de n contém n e então intersecta \mathbb{Z}. Logo \mathbb{Z}\subset\overline{\mathbb{Z}}.
Agora mostro que não há outros pontos no fecho além dos inteiros. Tome x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Z}. A distância de x ao inteiro mais próximo é positiva: definad=\inf_{n\in\mathbb{Z}}|x-n|.Como x não é inteiro, a parte fracionária de x é estritamente entre 0 e 1, logo existe um inteiro n tal que |x-n|>0 e, por discreção dos inteiros, d>0. Então escolha \varepsilon=\dfrac{d}{2}>0. A bola aberta B(x,\varepsilon)=(x-\varepsilon,x+\varepsilon) não contém nenhum inteiro (pois qualquer inteiro teria distância ao x pelo menos d). Assim existe uma vizinhança de x que não intersecta \mathbb{Z}, o que mostra que x\notin\overline{\mathbb{Z}}.
Conclusão: \overline{\mathbb{Z}}=\mathbb{Z}. Em palavras, \mathbb{Z} é fechado em \mathbb{R}.
Passo 4
Definição e ideia do interior: o interior A^{\circ} de A\subset\mathbb{R} é o conjunto de todos os pontos x\in A para os quais existe uma vizinhança B(x,\varepsilon) inteiramente contida em A. Em outras palavras, pontos interiores são aqueles que possuem um pequeno intervalo ao redor inteiro dentro de A.
Passo 5
Cálculo de (\mathbb{Z})^{\circ}.
Tome qualquer inteiro n\in\mathbb{Z}. Para ser um ponto interior, teria que existir \varepsilon>0 tal que B(n,\varepsilon)\subset\mathbb{Z}. Mas qualquer intervalo aberto B(n,\varepsilon) com \varepsilon>0 contém pontos não inteiros (por exemplo n+\varepsilon/2), logo não pode estar contido em \mathbb{Z}. Em particular, escolher \varepsilon<\tfrac{1}{2} mostra que o intervalo contém n e pontos não inteiros.
Portanto nenhum inteiro é ponto interior, e assim(\mathbb{Z})^{\circ}=\varnothing.