Em topologia definimos a fronteira de um conjunto A por \partial A=\bar{A}-A^{\circ}.
(b) \partial \mathbb{Q};
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a fronteira de \mathbb{Q} (o conjunto dos números racionais) usando a definição
\partial A = \overline{A} - A^{\circ}.
Informações relevantes dadas ou implicadas:
O conjunto alvo é \mathbb{Q}\subset\mathbb{R}.
Trabalhamos com a topologia usual em \mathbb{R} (vizinhanças são intervalos abertos).
A definição de fronteira foi fornecida; para aplicá‑la precisamos encontrar \overline{\mathbb{Q}} (fecho) e (\mathbb{Q})^{\circ} (interior).
Passo 2
Calcular \overline{\mathbb{Q}} (fecho de \mathbb{Q}).
Definição útil: \overline{A} é o conjunto de todos os pontos x tais que toda vizinhança de x intersecta A. Em \mathbb{R} isso equivale a: para todo \varepsilon>0, (x-\varepsilon,x+\varepsilon)\cap A\neq\varnothing.
Vou mostrar que qualquer x\in\mathbb{R} satisfaz essa propriedade com A=\mathbb{Q}, ou seja \overline{\mathbb{Q}}=\mathbb{R}.
Prova que entre quaisquer dois reais existe um racional (propriedade de densidade de \mathbb{Q}): dados a<b, pela propriedade arquimediana existe n\in\mathbb{N} com \dfrac{1}{n}<b-a. Então existe m\in\mathbb{Z} tal que
\frac{m}{n}>a.
Como \dfrac{m-1}{n}\le a<\dfrac{m}{n} e \dfrac{m}{n}-\dfrac{m-1}{n}=\dfrac{1}{n}<b-a, segue \dfrac{m}{n}\in(a,b). Assim sempre há um racional em qualquer intervalo aberto não vazio.
Aplicando isso a um ponto arbitrário x\in\mathbb{R} e a qualquer \varepsilon>0, existe racional q\in(x-\varepsilon,x+\varepsilon). Logo toda vizinhança de x encontra \mathbb{Q}. Portanto x\in\overline{\mathbb{Q}}. Como x era arbitrário,
\overline{\mathbb{Q}}=\mathbb{R}.
Passo 3
Calcular (\mathbb{Q})^{\circ} (interior de \mathbb{Q}).
Definição útil: A^{\circ} é o conjunto dos pontos que possuem alguma vizinhança inteiramente contida em A. Em \mathbb{R}, se A^{\circ}\neq\varnothing então existe um intervalo aberto (a,b) tal que (a,b)\subset A.
Mostro que isso não pode acontecer para A=\mathbb{Q}. Dois argumentos possíveis — escolho um simples e direto.
Argumento por cardinalidade (claro e rápido): \mathbb{Q} é contável (pode enumerar todos os racionais). Todo intervalo aberto (a,b) tem cardinalidade do contínuo (é não enumerável, ou seja, tem infinitos não contáveis). Um conjunto contável não pode conter um subconjunto com cardinalidade do contínuo; portanto nenhum intervalo aberto pode estar contido em \mathbb{Q}. Assim \mathbb{Q} não contém nenhuma vizinhança inteira de nenhum ponto, logo
(\mathbb{Q})^{\circ}=\varnothing.
(Se preferir outro argumento: também se pode usar que os números irracionais estão densos em \mathbb{R}, i.e. todo intervalo contém irracionais; isso impede qualquer intervalo de ficar inteiro dentro de \mathbb{Q}.)