Prove que se
\sum a_{n}^{2}
e
\sum b_{n}^{2}
convergem, então:
a)
\sum a_{n} b_{n}
converge absolutamente;
b)
\sum\left(a_{n}+b_{n}\right)^{2}
converge.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas:
  • Informações dadas:
    • Converge a série \sum a_{n}^{2}.
    • Converge a série \sum b_{n}^{2}.
  • O que é pedido:
    a) Mostrar que \sum a_{n}b_{n} converge absolutamente (ou seja, que \sum |a_{n}b_{n}| converge).
    b) Mostrar que \sum\left(a_{n}+b_{n}\right)^{2} converge.
Vou resolver isso passo a passo, sem pular etapas, explicando cada desigualdade e argumento que eu usar.

Passo 2

Primeiro eu vou provar uma desigualdade elementar que vai ser muito útil: para quaisquer números reais a e b vale
2|ab| \le a^{2} + b^{2}.
Explicação e demonstração dessa desigualdade: considere o quadrado de uma diferença de módulos, que é não negativo:
\bigl(|a|-|b|\bigr)^{2}\ge 0.
Expandindo esse quadrado obtemos
|a|^{2} - 2|a||b| + |b|^{2}\ge 0.
Como |a|^{2}=a^{2} e |b|^{2}=b^{2}, isso dá
a^{2} + b^{2} \ge 2|a||b| = 2|ab|.
Logo a desigualdade está demonstrada. Intuição rápida: é a versão algébrica de que o quadrado não pode ser negativo; também se obtém pela desigualdade aritmético-quadrática (AM–GM) ou pelo fato de (a-b)^{2}\ge0.

Passo 3

Use a desigualdade do passo anterior aplicada a cada termo da sequência: para todo n,
|a_{n}b_{n}| \le \frac{a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}{2}.
Agora some essa desigualdade de n=1 até n=N (para qualquer N\in\mathbb{N}). Chamando a soma parcial por
S_{N}=\sum_{n=1}^{N}|a_{n}b_{n}|,
temos
S_{N} \le \sum_{n=1}^{N}\frac{a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}{2} = \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{N}a_{n}^{2} + \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{N}b_{n}^{2}.
As séries \sum a_{n}^{2} e \sum b_{n}^{2} convergem por hipótese, logo as somas parciais \sum_{n=1}^{N}a_{n}^{2} e \sum_{n=1}^{N}b_{n}^{2} são limitadas quando N\to\infty. Portanto o lado direito acima é majorado por
\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}^{2} + \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}^{2} < \infty.
Assim os S_{N} são uma sequência monótona crescente e limitada superiormente por um número finito; por isso S_{N} converge quando N\to\infty. Em outras palavras, a série \sum |a_{n}b_{n}| converge.

Passo 4

Conclusão do item (a): como \sum |a_{n}b_{n}| converge, a série \sum a_{n}b_{n} converge absolutamente. Vou repetir a ideia em palavras simples: cada termo |a_{n}b_{n}| é no máximo a média de a_{n}^{2} e b_{n}^{2}; somando isso obtemos que a soma das |a_{n}b_{n}| é menor que a soma (finita) das médias, logo converge.

Passo 5

Agora o item (b). Começo expandindo o quadrado de soma de termos:
\bigl(a_{n}+b_{n}\bigr)^{2} = a_{n}^{2} + 2a_{n}b_{n} + b_{n}^{2}.
Portanto a série que queremos estudar é
\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_{n}+b_{n}\bigr)^{2} = \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}^{2} \;+\; 2\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}b_{n} \;+\; \sum_{n=1}^{\infty}b_{n}^{2}.

Passo 6

Já sabemos por hipótese que as duas séries \sum a_{n}^{2} e \sum b_{n}^{2} convergem. Do passo 4 sabemos que \sum a_{n}b_{n} converge absolutamente, então \sum a_{n}b_{n} converge; multiplicando por 2 permanece convergente. Como soma finita de séries convergentes resulta em série convergente, segue que
\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_{n}+b_{n}\bigr)^{2}
converge.

Resposta

(a) \sum a_{n}b_{n} converge absolutamente.
(b) \sum\left(a_{n}+b_{n}\right)^{2} converge.

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