Prove que se
e
convergem, então:
a)
converge absolutamente;
b)
converge.
e
convergem, então:
a)
converge absolutamente;
b)
converge.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas:
-
Informações dadas:
- Converge a série
. - Converge a série
.
- Converge a série
-
O que é pedido:
a) Mostrar queconverge absolutamente (ou seja, que converge).
b) Mostrar queconverge.
Vou resolver isso passo a passo, sem pular etapas, explicando cada desigualdade e argumento que eu usar.
Passo 2
Primeiro eu vou provar uma desigualdade elementar que vai ser muito útil: para quaisquer números reais
e
vale
Explicação e demonstração dessa desigualdade: considere o quadrado de uma diferença de módulos, que é não negativo:
Expandindo esse quadrado obtemos
Como
e
, isso dá
Logo a desigualdade está demonstrada. Intuição rápida: é a versão algébrica de que o quadrado não pode ser negativo; também se obtém pela desigualdade aritmético-quadrática (AM–GM) ou pelo fato de
.
Passo 3
Use a desigualdade do passo anterior aplicada a cada termo da sequência: para todo
,
Agora some essa desigualdade de
até
(para qualquer
). Chamando a soma parcial por
temos
As séries
e
convergem por hipótese, logo as somas parciais
e
são limitadas quando
. Portanto o lado direito acima é majorado por
Assim os
são uma sequência monótona crescente e limitada superiormente por um número finito; por isso
converge quando
. Em outras palavras, a série
converge.
Passo 4
Conclusão do item (a): como
converge, a série
converge absolutamente. Vou repetir a ideia em palavras simples: cada termo
é no máximo a média de
e
; somando isso obtemos que a soma das
é menor que a soma (finita) das médias, logo converge.
Passo 5
Agora o item (b). Começo expandindo o quadrado de soma de termos:
Portanto a série que queremos estudar é
Passo 6
Já sabemos por hipótese que as duas séries
e
convergem. Do passo 4 sabemos que
converge absolutamente, então
converge; multiplicando por
permanece convergente. Como soma finita de séries convergentes resulta em série convergente, segue que
converge.
Resposta
(a)
converge absolutamente.
(b) converge.
(b)