Mostre que, se \left(x_{n}\right) é limitada e \sum a_{n} é absolutamente convergente, então \sum\left(a_{n} x_{n}\right) é convergente.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue.
  • Informação 1: \left(x_{n}\right) é limitada. Ou seja, existe um número real M>0 tal que |x_{n}|\le M para todo n.
  • Informação 2: \sum a_{n} é absolutamente convergente. Ou seja, a série \sum |a_{n}| converge (tem soma finita).
  • Pergunta: Mostrar que a série \sum\left(a_{n} x_{n}\right) é convergente.
Nenhuma outra informação é pedida; vamos provar a convergência de \sum\left(a_{n} x_{n}\right) a partir das duas informações acima.

Passo 2

Definições e ideias que vamos usar (explicadas de forma simples e concreta):
  • Significado de sequência limitada: dizer que \left(x_{n}\right) é limitada significa que existe M>0 tal que, para todo índice n, temos |x_{n}|\le M. Aqui M é apenas uma constante que domina todos os |x_n|.
  • Significado de série absolutamente convergente: \sum a_{n} é absolutamente convergente significa que \sum |a_{n}| converge. Convergência de séries de termos não-negativos pode ser testada por comparação.
  • Teste de comparação simples (enunciado claro): se 0\le u_{n}\le v_{n} para todo n e \sum v_{n} converge, então \sum u_{n} também converge. Vamos aplicar exatamente esse teste às séries de termos absolutos.

Passo 3

Usar a limitação de \left(x_{n}\right) para comparar os termos absolutos.
Pela limitação existe M>0 tal que para todo n
|x_{n}|\le M.
Multiplicando por |a_{n}| (que é não-negativo) obtemos, para todo n,
|a_{n}||x_{n}|\le M\,|a_{n}|.
Como |a_{n}x_{n}|=|a_{n}||x_{n}|, a desigualdade fica
|a_{n}x_{n}|\le M\,|a_{n}|.

Passo 4

Mostrar que \sum M|a_{n}| converge.
Sabemos que \sum |a_{n}| converge (hipótese de absoluta convergência). Uma propriedade simples de séries é que multiplicar todos os termos por uma constante positiva M resulta em uma série que também converge, com soma M vezes a soma original. Formalmente, se \sum |a_{n}| = S <\infty, então
\sum M|a_{n}| = M \sum |a_{n}| = M S <\infty.
Portanto a série \sum M|a_{n}| é convergente.

Passo 5

Aplicar o teste de comparação aos termos |a_{n}x_{n}|.
Temos para todo n que 0\le |a_{n}x_{n}|\le M|a_{n}|. Como \sum M|a_{n}| converge (Passo 4), pelo teste de comparação segue que a série dos termos não-negativos \sum |a_{n}x_{n}| também converge.

Passo 6

Concluir que \sum a_{n}x_{n} converge (e, na verdade, converge absolutamente).
A convergência de \sum |a_{n}x_{n}| significa que a série \sum a_{n}x_{n} é absolutamente convergente. Uma propriedade básica das séries é que toda série absolutamente convergente é convergente (se a soma dos valores absolutos é finita, então as somas parciais da série original formam uma sequência de Cauchy e portanto convergem). Logo \sum a_{n}x_{n} converge.

Passo 7

Recapitulando de forma enxuta e intuitiva: como \left(x_{n}\right) é limitada por M e \sum |a_{n}| converge, temos |a_{n}x_{n}|\le M|a_{n}| e por comparação a série de módulos \sum |a_{n}x_{n}| converge. Portanto \sum a_{n}x_{n} converge absolutamente e, consequentemente, converge.

Resposta

A série \sum a_{n}x_{n} converge (mais: converge absolutamente).

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