Mostre que, se
é limitada e
é absolutamente convergente, então
é convergente.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue.
- Informação 1:
é limitada. Ou seja, existe um número real tal que para todo . - Informação 2:
é absolutamente convergente. Ou seja, a série converge (tem soma finita). - Pergunta: Mostrar que a série
é convergente.
Nenhuma outra informação é pedida; vamos provar a convergência de
a partir das duas informações acima.
Passo 2
Definições e ideias que vamos usar (explicadas de forma simples e concreta):
- Significado de sequência limitada: dizer que
é limitada significa que existe tal que, para todo índice , temos . Aqui é apenas uma constante que domina todos os . - Significado de série absolutamente convergente:
é absolutamente convergente significa que converge. Convergência de séries de termos não-negativos pode ser testada por comparação. - Teste de comparação simples (enunciado claro): se
para todo e converge, então também converge. Vamos aplicar exatamente esse teste às séries de termos absolutos.
Passo 3
Usar a limitação de
para comparar os termos absolutos.
Pela limitação existe
tal que para todo
Multiplicando por
(que é não-negativo) obtemos, para todo
,
Como
, a desigualdade fica
Passo 4
Mostrar que
converge.
Sabemos que
converge (hipótese de absoluta convergência). Uma propriedade simples de séries é que multiplicar todos os termos por uma constante positiva
resulta em uma série que também converge, com soma
vezes a soma original. Formalmente, se
, então
Portanto a série
é convergente.
Passo 5
Aplicar o teste de comparação aos termos
.
Temos para todo
que
. Como
converge (Passo 4), pelo teste de comparação segue que a série dos termos não-negativos
também converge.
Passo 6
Concluir que
converge (e, na verdade, converge absolutamente).
A convergência de
significa que a série
é absolutamente convergente. Uma propriedade básica das séries é que toda série absolutamente convergente é convergente (se a soma dos valores absolutos é finita, então as somas parciais da série original formam uma sequência de Cauchy e portanto convergem). Logo
converge.
Passo 7
Recapitulando de forma enxuta e intuitiva: como
é limitada por
e
converge, temos
e por comparação a série de módulos
converge. Portanto
converge absolutamente e, consequentemente, converge.
Resposta
A série
converge (mais: converge absolutamente).