(O, 6) Prove que sumn=1^infty 1n(n+2)=34.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
sumn=1^infty 1n(n+2) = tfrac34.
O conteúdo envolvido é soma de séries infinitas por método telescópico, usando frações parciais.

Passo 2

Decompondo o termo geral em frações parciais:
1n(n+2) = An + Bn+2
Multiplicando ambos os lados por n(n+2) obtém-se
1 = A(n+2) + Bn = (A+B),n + 2A
Comparando coeficientes:
A + B = 0, 2A = 1 Longrightarrow A = tfrac12,; B = -tfrac12
Logo,
1n(n+2) = 1/2n - 1/2n+2

Passo 3

Definindo a soma parcial até N:
SN = sumn=1^N 1n(n+2) = 12 sumn=1^N l(1n - 1n+2r)
Ao expandir essa soma, observa-se que a maioria dos termos se cancela (efeito telescópico).

Passo 4

Escrevendo os termos que sobrarem em SN:
SN = 12l((1 + tfrac12) - (tfrac1N+1 + tfrac1N+2)r)
Fazendo N to infty, as parcelas tfrac1N+1 e tfrac1N+2 tendem a zero. Portanto,
sumn=1^infty 1n(n+2) = limNtoinfty SN = 12l(1 + tfrac12r) = 34

Resposta

tfrac34

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