Resolva as seguintes equações de ordem superior:
(b) y^(4)-2 y^prime prime prime+2 y^prime prime=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial linear homogênea de ordem quatro com coeficientes constantes
y^(4) - 2,y''' + 2,y'' = 0
O método consiste em assumir uma solução exponencial y=e^r x, montar a equação característica, encontrar suas raízes e montar a solução geral a partir delas.

Passo 2

Assumindo y=e^r x, temos
y' = r e^r x, y'' = r^2 e^r x, y''' = r^3 e^r x, y^(4) = r^4 e^r x
Substituindo na equação diferencial e dividindo por e^r xneq0, obtém-se a equação característica
r^4 - 2,r^3 + 2,r^2 = 0

Passo 3

Fatorando o polinômio característico em r^2, fica
r^2,(r^2 - 2r + 2) = 0
Isso mostra que há uma raiz dupla em r=0 (de r^2=0) e as demais vêm da equação r^2 - 2r + 2=0.

Passo 4

Resolvendo cada fator:
  • Para r^2=0, temos r1=0 e r2=0 (multiplicidade 2).
  • Para r^2-2r+2=0, o discriminante é De<a = (-2)^2 - 4 cdot 1 cdot 2 = -4, logo as raízes complexas são
r3,4 = 2 pm raiz-42 = 1 pm i

Passo 5

Pela teoria, cada raiz real de multiplicidade m gera soluções e^r x,,x e^r x,dots, x^m-1e^r x, e cada par de raízes complexas apm bi gera soluções e^a xcos(bx) e e^a xsin(bx).
  • Da raiz dupla 0 vêm as soluções
    e^0x=1 e x e^0x=x
  • Do par 1pm i vêm
    e^xcos x e e^xsin x
    Portanto, a solução geral é combinação linear dessas quatro soluções independentes.

Resposta

y(x) = C1 + C2,x + e^xl(C3cos x + C4sin xr),
onde C1,C2,C3,C4 são constantes arbitrárias.

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