Resolva as seguintes equações de ordem superior:
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial linear homogênea de ordem quatro com coeficientes constantes
O método consiste em assumir uma solução exponencial
, montar a equação característica, encontrar suas raízes e montar a solução geral a partir delas.
Passo 2
Assumindo
, temos
Substituindo na equação diferencial e dividindo por
, obtém-se a equação característica
Passo 3
Fatorando o polinômio característico em
, fica
Isso mostra que há uma raiz dupla em
(de
) e as demais vêm da equação
.
Passo 4
Resolvendo cada fator:
- Para
, temos e (multiplicidade ). - Para
, o discriminante é , logo as raízes complexas são
Passo 5
Pela teoria, cada raiz real de multiplicidade
gera soluções
, e cada par de raízes complexas
gera soluções
e
.
- Da raiz dupla
vêm as soluções
e - Do par
vêm
e
Portanto, a solução geral é combinação linear dessas quatro soluções independentes.
Resposta
onde
são constantes arbitrárias.