Calcule as derivadas indicadas:
y^prime prime sendo y=1x+cos x^2;

Passo 1

O enunciado pede a segunda derivada de
y = 1x + cosl(x^2r)
Para isso vamos usar:
– regra da soma de derivadas;
– regra da potência para tfrac1x;
– regra da cadeia para cos(x^2);
– depois, regra do produto e cadeia ao derivar a primeira derivada.

Passo 2

Começamos achando a primeira derivada y' pela regra da soma:
y' = l(tfrac1xr)' + l(cos(x^2)r)'

Passo 3

Calculamos as derivadas separadamente:
l(tfrac1xr)' = -1x^2 (regra da potência)
l(cos(x^2)r)' = -sin(x^2)cdot(2x) = -2xsin(x^2) (cadeia)
Logo,
y' = -1x^2 ;-;2xsin(x^2)

Passo 4

Agora derivamos y' termo a termo para obter y''.
Para -tfrac1x^2, usando potência:
l(-tfrac1x^2r)' = -l(-2r),x^-3 = 2x^3
Para -2xsin(x^2), usando produto e cadeia:
l(-2xsin(x^2)r)' = -2,sin(x^2) ;+;-2xcdotl(sin(x^2)r)' = -2sin(x^2) -2xcdotl(cos(x^2)cdot2xr) = -2sin(x^2)-4x^2cos(x^2)

Passo 5

Somando os resultados:
y'' = 2x^3 ;-;2sin(x^2);-;4x^2cos(x^2)

Resposta

y'' = 2x^3 - 2sin(x^2) - 4x^2cos(x^2)

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