Prove que:
sumn=0^+infty 1(4 n+1)(4 n+5)=14

Passo 1

O enunciado pede para provar
sumn=0^infty1(4n+1)(4n+5)=14
O conteúdo que vamos usar é decomposição em frações parciais e soma telescópica de séries.

Passo 2

Decomponha
1(4n+1)(4n+5)=A4n+1+B4n+5
Multiplicando em cruz vem
1 = A(4n+5)+B(4n+1) = (4A+4B)n + (5A+B)
Igualando coeficientes obtemos
4(A+B)=0, 5A+B=1 Longrightarrow A=tfrac14,;B=-tfrac14
Portanto
1(4n+1)(4n+5) =14l(14n+1-14n+5r)

Passo 3

Defina a soma parcial
SN=sumn=0^N1(4n+1)(4n+5) =14sumn=0^Nl(14n+1-14n+5r)
Expandindo vemos que a soma telescopa:
SN=14l( 11-15 +15-19 +cdots +14N+1-14N+5 r),
onde todos os termos intermediários cancelam.

Passo 4

Fica então
SN=14l(1-14N+5r)
Ao tomar o limite Ntoinfty, o termo 14N+5 tende a zero, logo
sumn=0^infty1(4n+1)(4n+5) =limNtoinftySN =14

Resposta

14

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