1. Um tanque com capacidade fixa, há uma quantidade inicial de V0 litros de água pura. Despeja-se no tanque uma solução de salmoura com concentração constante (rho) até o volume de V1(V1>V0) à razão de v litros por minuto. Quando a solução no tanque chega ao volume V1, retira-se do tanque a solução até ao volume V0 à razão de varpi litros por minuto. Definamos um ciclo como sendo o tempo de partindo do volume V0 chegar-se ao volume V1 e retornar ao volume V0. Calcule: a) O tempo para o primeiro ciclo e a concentração da solução no tanque nesse tempo. b) A concentração para o n-ésimo ciclo. , quando varpi=v. O que ocorre,se n infty ?
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Passo 1

O enunciado descreve um tanque de volume variável entre V0 e V1. Inicialmente há apenas água pura ( 0 de sal).
  1. Enche-se de salmoura de concentração rho à vazão v até o volume atingir V1.
  2. Depois esvazia-se à vazão varpi até voltar a V0.
    Chamamos esse percurso “um ciclo”.
    Conteúdo: usaremos ODEs para a fase de enchimento (apenas entrada de sal) e fase de esvaziamento (somente saída de solução), e depois montaremos uma recorrência de massa de sal quando varpi=v.

Passo 2

Na fase de enchimento o volume varia de V0 a V1 a razão constante v.
O tempo de enchimento é
T1=V1-V0v
Como não há saída, a massa de sal S(t) satisfaz
dSdt=v,rho, S(0)=0,
logo ao término dessa fase
S1=v,rho,T1 =rho,(V1-V0)

Passo 3

Na fase de esvaziamento o volume cai de V1 a V0 à razão varpi, em tempo
T2=V1-V0varpi
Como a mistura é instantânea, a concentração é S/V e só há retirada, de modo que ao final
S2=S1,V0V1 =rho,(V1-V0)V0V1
A concentração no tanque, com volume V0, vale
C1=S2V0 =rho,V1-V0V1

Passo 4

O tempo total do primeiro ciclo é
Tciclo,1=T1+T2 =V1-V0v+V1-V0varpi

Passo 5

Agora suponha varpi=v. Defina A=tfracV0V1 e Sn a massa de sal no tanque ao fim do n-ésimo ciclo. Após cada enchimento entra sempre rho,(V1-V0) de sal, e depois fica-se com a fração A. Assim
Sn=Al(Sn-1+rho,(V1-V0)r), S0=0
Essa recorrência resolve-se em
Sn=V0,rhol(1-A^nr)
Logo a concentração no fim do n-ésimo ciclo é
Cn=SnV0 =rhol(1-(V0/V1)^nr)

Passo 6

Quando ntoinfty temos (V0/V1)^nto0, logo
Cn,longrightarrow,rho

Resposta

a) Tempo do primeiro ciclo:
Tciclo,1 =V1-V0v+V1-V0varpi
Concentração ao final do primeiro ciclo:
C1 =rho,V1-V0V1
b) Para varpi=v, a concentração no fim do n-ésimo ciclo é
Cn =rhol(1-(V0/V1)^nr),
e quando ntoinfty temos Cntorho.

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