- Um tanque com capacidade fixa, há uma quantidade inicial de
litros de água pura. Despeja-se no tanque uma solução de salmoura com concentração constante
até o volume de
à razão de
litros por minuto. Quando a solução no tanque chega ao volume
, retira-se do tanque a solução até ao volume
à razão de
litros por minuto. Definamos um ciclo como sendo o tempo de partindo do volume
chegar-se ao volume
e retornar ao volume
. Calcule: a) O tempo para o primeiro ciclo e a concentração da solução no tanque nesse tempo. b) A concentração para o n-ésimo ciclo. , quando
. O que ocorre,se
?
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Passo 1
O enunciado descreve um tanque de volume variável entre
e
. Inicialmente há apenas água pura (
de sal).
- Enche-se de salmoura de concentração
à vazão até o volume atingir . - Depois esvazia-se à vazão
até voltar a .
Chamamos esse percurso “um ciclo”.
Conteúdo: usaremos ODEs para a fase de enchimento (apenas entrada de sal) e fase de esvaziamento (somente saída de solução), e depois montaremos uma recorrência de massa de sal quando.
Passo 2
Na fase de enchimento o volume varia de
a
a razão constante
.
O tempo de enchimento é
O tempo de enchimento é
Como não há saída, a massa de sal
satisfaz
logo ao término dessa fase
Passo 3
Na fase de esvaziamento o volume cai de
a
à razão
, em tempo
Como a mistura é instantânea, a concentração é
e só há retirada, de modo que ao final
A concentração no tanque, com volume
, vale
Passo 4
O tempo total do primeiro ciclo é
Passo 5
Agora suponha
. Defina
e
a massa de sal no tanque ao fim do
-ésimo ciclo. Após cada enchimento entra sempre
de sal, e depois fica-se com a fração
. Assim
Essa recorrência resolve-se em
Logo a concentração no fim do
-ésimo ciclo é
Passo 6
Quando
temos
, logo
Resposta
a) Tempo do primeiro ciclo:
Concentração ao final do primeiro ciclo:
b) Para
, a concentração no fim do
-ésimo ciclo é
e quando
temos
.