Resolva os p.v.i’s
x d y=raizx^2-16 d x e y(4)=0

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
x,dy = raizx^2-16,dx, y(4)=0,
que é uma equação diferencial de primeira ordem e variáveis separáveis. Vamos separar y e x, integrar e depois usar a condição inicial para achar a constante de integração.

Passo 2

Separamos as variáveis dividindo por x e por dx:
dy = raizx^2-16x,dx
Agora integramos ambos os lados:
integral dy = integral raizx^2-16x,dx

Passo 3

Para calcular
I = integral raizx^2-16x,dx
fazemos a substituição trigonométrica
x = 4sec t, dx = 4sec ttan t,dt, raizx^2-16 = 4tan t
Então
I = integral 4tan t4sec t,l(4sec ttan t,dtr) = integral 4,tan^2 t,dt =4integral(sec^2 t -1),dt

Passo 4

Integramos termo a termo:
4integralsec^2 t,dt - 4integral 1,dt =4tan t -4t + C

Passo 5

Voltando a :
Logo
Isso nos dá a solução geral

Passo 6

Usamos a condição . Em temos e , logo

Resposta

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