Prove que se sumn=1^+infty un for absolutamente convergente, então sumn=1 un^2 será convergente.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se sumn=1^inftyun é absolutamente convergente (isto é, sumn=1^infty|un| converge), então a série sumn=1^inftyun^2 também converge. O conteúdo principal aqui é o teste de comparação de séries e o fato de que, em qualquer série convergente, seus termos tendem a zero.

Passo 2

Como sumn=1^infty|un| converge, em particular tem-se
limntoinfty|un| = 0
Logo existe um índice N tal que, para todo n>= N, vale
|un| < 1

Passo 3

Para n>= N usamos que, se |un|<1, então |un|^2 <= |un|. Como un^2 = |un|^2, obtemos
0 ;<=; un^2 ;=; |un|^2 ;<=; |un| para todo n>= N
Pelo teste de comparação, a porção “cauda” da série satisfaz
sumn=N^inftyun^2 ;<=; sumn=N^infty|un|,
e como sumn=1^infty|un| converge, a soma do lado direito é finita. Portanto sumn=N^inftyun^2 converge.

Passo 4

Finalmente, os termos iniciais u1^2, u2^2,dots,uN-1^2 somam um valor finito (por serem um número finito de termos). Somando essa parte finita à soma convergente da cauda, concluímos que toda a série
sumn=1^inftyun^2
converge.

Resposta

A série sumn=1^inftyun^2 é convergente.

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