Prove que se
for absolutamente convergente, então
será convergente.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
é absolutamente convergente (isto é,
converge), então a série
também converge. O conteúdo principal aqui é o teste de comparação de séries e o fato de que, em qualquer série convergente, seus termos tendem a zero.
Passo 2
Como
converge, em particular tem-se
Logo existe um índice
tal que, para todo
, vale
Passo 3
Para
usamos que, se
, então
. Como
, obtemos
Pelo teste de comparação, a porção “cauda” da série satisfaz
e como
converge, a soma do lado direito é finita. Portanto
converge.
Passo 4
Finalmente, os termos iniciais
somam um valor finito (por serem um número finito de termos). Somando essa parte finita à soma convergente da cauda, concluímos que toda a série
converge.
Resposta
A série
é convergente.