Prove o teorema de Green para o campo
para uma região retangular de vértices
.
Passo 1
O enunciado nos dá o campo vetorial
e a região retangular
com vértices
.
O que nos pedem: verificar a igualdade entre a integral de linha de ao longo da fronteira
(percorrida no sentido positivo, isto é, anti-horário) e a integral dupla sobre
da quantidade
, onde
e
.
Dados importantes (extraídos do enunciado):
O que nos pedem: verificar a igualdade entre a integral de linha de
Dados importantes (extraídos do enunciado):
-
. -
. - Região
. - Orientação da fronteira: sentido anti-horário (positivo).
Passo 2
Enunciado do resultado que vamos verificar (forma usada aqui): para um campo
com
de classe
na região que contém
, vale
Explicando:
é a integral de linha ao redor do contorno
seguindo o sentido anti-horário; a integral dupla à direita é a “soma” do rotacional escalar
sobre a área de
. Antes de aplicar, verificamos as hipóteses:
e
são polinômios em
, logo são de classe
em toda a reta — em particular na região
. Portanto a fórmula pode ser usada.
Passo 3
Calcular o integrando da integral dupla: as derivadas parciais são
Logo o rotacional escalar é
Passo 4
Calcular a integral dupla sobre
:
A função
não depende de
, então a integral interna em
apenas multiplica por
:
Agora integrar em
:
Portanto a integral dupla dá
.
Passo 5
Agora calculamos a integral de linha
percorrendo os quatro lados do retângulo no sentido anti-horário. Denotemos as arcos orientados por
:
-
: de a . Parâmetro . Então . -
: de a . Parâmetro . Então . -
: de a . Parâmetro (ou alternativamente com sinal). Aqui usarei indo de a ; . -
: de a . Parâmetro . Então .
Em cada caso a forma
simplifica conforme
ou
sejam zero. Vamos calcular cada integral separadamente.
Passo 6
Integral em
: sobre
com
.
Logo
Passo 7
Integral em
: sobre
com
.
Portanto
Passo 8
Integral em
: sobre
com
e
variando de
a
.
A integral é
Calcule a integral interna:
Portanto
Passo 9
Integral em
: sobre
com
e
variando de
a
.
Então
Passo 10
Somar as quatro contribuições:
Comparando com o resultado da integral dupla (Passo 4), que deu
, concluímos que
Isso verifica a igualdade desejada para o campo dado e para o retângulo
. Bom trabalho! Já era de se esperar que as partes se cancelassem, mas é sempre reconfortante ver as contas baterem.