Considere o campo \vec{F}: \mathbb{R}^{3}-\{(0,0,0)\} \rightarrow \mathbb{R}^{3} definido por \vec{F}(\vec{r})=k r^{m} \vec{r}, \operatorname{com} k \in \mathbb{R}, m \in \mathbb{Z}, \vec{r}=(x, y, z e r=\|\vec{r}\|. Demonstre que \vec{F} é conservativo e encontre uma função potencial adequada para \vec{F}
Dica: O caso m=-2 precisa de um tratamento especial.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado: o campo vetorial \vec{F} : \mathbb{R}^{3}\setminus\{(0,0,0)\}\to\mathbb{R}^{3} definido por
\vec{F}(\vec{r}) = k\, r^{m}\,\vec{r},
onde k\in\mathbb{R}, m\in\mathbb{Z}, \vec{r}=(x,y,z) e r=\|\vec{r}\|=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
  • Pedido: mostrar que \vec{F} é conservativo (ou seja, existe uma função potencial \varphi tal que \nabla\varphi=\vec{F}) e encontrar explicitamente uma função potencial adequada. A dica diz que o caso m=-2 precisa de tratamento especial.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • \vec{F} é um campo radial (múltiplo escalar de \vec{r}) e está definido em todo \mathbb{R}^{3} exceto a origem.
  • Precisamos produzir \varphi(\vec{r}) tal que \nabla\varphi(\vec{r})=\vec{F}(\vec{r}), e tratar separadamente m=-2.

Passo 2

Lembrete útil (fórmula do gradiente para funções radiais) e demonstração curta:
Se \varphi depende só de r, isto é \varphi(\vec{r})=f(r) com r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}, então as derivadas parciais de r são
\frac{\partial r}{\partial x}=\frac{x}{r},\qquad \frac{\partial r}{\partial y}=\frac{y}{r},\qquad \frac{\partial r}{\partial z}=\frac{z}{r}.
Por regra da cadeia, as componentes do gradiente de \varphi são
\frac{\partial \varphi}{\partial x}=f'(r)\frac{\partial r}{\partial x}=f'(r)\frac{x}{r},
e análogas para y,z. Assim, em forma vetorial,
\nabla\varphi(\vec{r})=f'(r)\frac{\vec{r}}{r}.
Esta é uma identidade padrão: o gradiente de uma função radial tem direção radial e módulo f'(r).

Passo 3

Usar a forma buscada \varphi(\vec{r})=f(r) e igualar o gradiente a \vec{F}:
Queremos \nabla\varphi(\vec{r})=\vec{F}(\vec{r}). Usando a identidade do passo anterior,
f'(r)\frac{\vec{r}}{r}=k\,r^{m}\,\vec{r}.
Se \vec{r}\neq\vec{0}, podemos comparar os fatores multiplicativos do vetor \vec{r} (eles não são sempre nulos simultaneamente), obtendo a equação escalar para f':
\frac{f'(r)}{r}=k\,r^{m}\quad\Longrightarrow\quad f'(r)=k\,r^{m+1}.
Portanto encontramos uma equação diferencial simples para f em função de r.

Passo 4

Integração para o caso geral m\neq -2:
Resolver f'(r)=k\,r^{m+1}. Integrando em r,
f(r)=\int k\,r^{m+1}\,dr = k\frac{r^{m+2}}{m+2}+C,
válido quando m+2\neq 0, isto é, m\neq -2. Logo uma função potencial candidata é
\varphi(\vec{r}) = k\frac{r^{m+2}}{m+2}+C,
onde C é constante arbitrária. Verificação rápida: aplicando a fórmula do passo 2,
\nabla\varphi(\vec{r}) = f'(r)\frac{\vec{r}}{r} = \biggl(k\,r^{m+1}\biggr)\frac{\vec{r}}{r}=k\,r^{m}\,\vec{r}=\vec{F}(\vec{r}).
Portanto para m\neq -2 a função acima é realmente potencial e \vec{F} é conservativo em \mathbb{R}^{3}\setminus\{0\}.

Passo 5

Tratamento especial do caso m=-2:
Se m=-2, a equação do passo 3 dá
f'(r)=k\,r^{m+1}=k\,r^{-1}.
Integrando,
f(r)=\int k\,\frac{1}{r}\,dr = k\ln r + C.
Logo uma função potencial para m=-2 é
\varphi(\vec{r}) = k\ln r + C.
Verificação: pelo passo 2,
\nabla\varphi(\vec{r})=f'(r)\frac{\vec{r}}{r}=\biggl(k\frac{1}{r}\biggr)\frac{\vec{r}}{r}=k\frac{\vec{r}}{r^{2}}.
Como m=-2 significa k r^{m}\vec r = k r^{-2}\vec r = k\vec r/r^{2}, esta expressão coincide com \vec{F}. Portanto para m=-2 a potencial logarítmica funciona, definida para r>0 (i.e., em \mathbb{R}^{3}\setminus\{0\}).

Passo 6

Observações finais, existência e unicidade:
  • Em ambos os casos encontramos explicitamente uma função \varphi com \nabla\varphi=\vec{F}. Logo \vec{F} é conservativo em \mathbb{R}^{3}\setminus\{0\}.
  • A função potencial é única a menos de uma constante aditiva C.
  • Note que todas as expressões possuem singularidade na origem, por isso o domínio natural é \mathbb{R}^{3}\setminus\{0\}. Isso é compatível com o enunciado.
  • Exemplos concretos rápidos para intuição:
    • Se m=0, \vec{F}=k\vec{r} e \varphi=k\frac{r^{2}}{2}+C (campo linear, potencial quadrático).
    • Se m=-2, \vec{F}=k\vec{r}/r^{2} e \varphi=k\ln r + C (campo como gradiente do logaritmo radial).

Resposta

Para m\neq -2:
\varphi(\vec{r})=k\frac{r^{m+2}}{m+2}+C.
Para m=-2:
\varphi(\vec{r})=k\ln r + C.

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