Considere o campo
definido por
e
. Demonstre que
é conservativo e encontre uma função potencial adequada para
Dica:
caso
precisa de um tratamento especial.
Dica:
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dado: o campo vetorial
definido por
onde
,
,
e
.
- Pedido: mostrar que
é conservativo (ou seja, existe uma função potencial tal que ) e encontrar explicitamente uma função potencial adequada. A dica diz que o caso precisa de tratamento especial.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
-
é um campo radial (múltiplo escalar de ) e está definido em todo exceto a origem. - Precisamos produzir
tal que , e tratar separadamente .
Passo 2
Lembrete útil (fórmula do gradiente para funções radiais) e demonstração curta:
Se
depende só de
, isto é
com
, então as derivadas parciais de
são
Por regra da cadeia, as componentes do gradiente de
são
e análogas para
. Assim, em forma vetorial,
Esta é uma identidade padrão: o gradiente de uma função radial tem direção radial e módulo
.
Passo 3
Usar a forma buscada
e igualar o gradiente a
:
Queremos
. Usando a identidade do passo anterior,
Se
, podemos comparar os fatores multiplicativos do vetor
(eles não são sempre nulos simultaneamente), obtendo a equação escalar para
:
Portanto encontramos uma equação diferencial simples para
em função de
.
Passo 4
Integração para o caso geral
:
Resolver
. Integrando em
,
válido quando
, isto é,
. Logo uma função potencial candidata é
onde
é constante arbitrária. Verificação rápida: aplicando a fórmula do passo 2,
Portanto para
a função acima é realmente potencial e
é conservativo em
.
Passo 5
Tratamento especial do caso
:
Se
, a equação do passo 3 dá
Integrando,
Logo uma função potencial para
é
Verificação: pelo passo 2,
Como
significa
, esta expressão coincide com
. Portanto para
a potencial logarítmica funciona, definida para
(i.e., em
).
Passo 6
Observações finais, existência e unicidade:
- Em ambos os casos encontramos explicitamente uma função
com . Logo é conservativo em . - A função potencial é única a menos de uma constante aditiva
. - Note que todas as expressões possuem singularidade na origem, por isso o domínio natural é
. Isso é compatível com o enunciado. - Exemplos concretos rápidos para intuição:
- Se
, e (campo linear, potencial quadrático). - Se
, e (campo como gradiente do logaritmo radial).
- Se
Resposta
Para
:
Para
: