Questão 9:
Considere o campo
definido por
, com
, mig
e
. Demonstre que
é conservativo e encontre uma fungâo potencial adequada para
Dica: 0 caso
precisa de um tratamento especial.
Passo 1
Vou listar o que o enunciado nos dá e o que ele pede (sem resolver nada ainda).
- Foi dado o campo vetorial
definido por , com e . - Aqui
e . - O enunciado pede para demonstrar que
é conservativo (no domínio ) e encontrar uma função potencial adequada para . - Foi dada a dica de que o caso
precisa de tratamento especial.
Passo 2
Entender a estratégia de resolução (passo de ensino curto). Vou procurar uma função potencial
tal que
. Uma observação útil é que
é radial (é um escalar que depende só de
multiplicando o vetor posição
). Isso sugere tentar uma potencial que dependa apenas de
, ou seja
. Se conseguirmos
com
, então
é conservativo (pois ter uma função potencial é exactamente a definição prática de campo conservativo).
Passo 3
Calcular a derivada espacial de
(isso é útil e é uma fórmula que costuma aparecer em provas). Para
e
vale:
Em notação vetorial, isso significa
Explicação rápida: isso vem de derivar
componente a componente; é válido para
(por isso excluímos a origem do domínio).
Passo 4
Se assumirmos
depende só de
, escrevemos
. A regra da cadeia para o gradiente dá:
Isto é uma identidade geral: o gradiente de uma função radial
é paralelo a
e tem esse fator
.
Passo 5
Queremos
. Usando a expressão de
e a fórmula do gradiente radial, igualamos:
Como
não é o vetor zero no domínio considerado, podemos comparar os escalares multiplicando
:
Multiplicando por
:
Isto reduz o problema a integrar uma função unidimensional em
.
Passo 6
Integrar
. Existem dois casos, dependendo de
.
Caso
: integrar potência polinomial.
onde
é constante arbitrária.
Caso
: a potência vira
, cuja integral é logaritmo:
Passo 7
Interpretação e condição de validade: as fórmulas acima são válidas para
(por isso o domínio
é apropriado). Ter encontrado uma função
tal que
prova diretamente que
é conservativo no domínio dado (pois existe potencial escalar definido em todo o domínio). O caso
foi tratado separadamente e deu
.
Passo 8
Comentário final didático e motivador: resumindo a ideia prática para a prova — quando o campo é radial do tipo
, tente uma função potencial radial
; use
e reduza para integrar uma função de
. Isso evita cálculo direto de rotacional e é rápido de aplicar na hora da prova. Vai dar certo, respira, você já tem a forma da potencial.