Questão 9:

Considere o campo \vec{F}: \mathbb{R}^{3}-\{(0,0,0)\} \rightarrow \mathbb{R}^{3} definido por \vec{F}(\vec{r})=\mathrm{krm} \overrightarrow{\mathrm{r}}, com \mathrm{k} \in \mathbb{R}, mig \mathrm{L} . \overrightarrow{\mathrm{r}}=(\mathrm{x}-\mathrm{y}-\mathrm{z}) e r=\|\vec{F}\|. Demonstre que \vec{F} é conservativo e encontre uma fungâo potencial adequada para \vec{F}
Dica: 0 caso m=-2 precisa de um tratamento especial.

Passo 1

Vou listar o que o enunciado nos dá e o que ele pede (sem resolver nada ainda).
  • Foi dado o campo vetorial \vec{F}:\mathbb{R}^3\setminus\{(0,0,0)\}\to\mathbb{R}^3 definido por \vec{F}(\vec{r})=k\,r^{m}\,\vec{r}, com k\in\mathbb{R} e m\in\mathbb{R}.
  • Aqui \vec{r}=(x,y,z) e r=\|\vec{r}\|=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
  • O enunciado pede para demonstrar que \vec{F} é conservativo (no domínio \mathbb{R}^{3}\setminus\{0\}) e encontrar uma função potencial adequada para \vec{F}.
  • Foi dada a dica de que o caso m=-2 precisa de tratamento especial.

Passo 2

Entender a estratégia de resolução (passo de ensino curto). Vou procurar uma função potencial \varphi tal que \nabla\varphi=\vec{F}. Uma observação útil é que \vec{F} é radial (é um escalar que depende só de r multiplicando o vetor posição \vec{r}). Isso sugere tentar uma potencial que dependa apenas de r, ou seja \varphi=\varphi(r). Se conseguirmos \varphi(r) com \nabla\varphi=\vec{F}, então \vec{F} é conservativo (pois ter uma função potencial é exactamente a definição prática de campo conservativo).

Passo 3

Calcular a derivada espacial de r (isso é útil e é uma fórmula que costuma aparecer em provas). Para r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} e r>0 vale:
\frac{\partial r}{\partial x}=\frac{x}{r},\qquad \frac{\partial r}{\partial y}=\frac{y}{r},\qquad \frac{\partial r}{\partial z}=\frac{z}{r}.
Em notação vetorial, isso significa
\nabla r=\left(\frac{x}{r},\frac{y}{r},\frac{z}{r}\right)=\frac{\vec{r}}{r}.
Explicação rápida: isso vem de derivar \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} componente a componente; é válido para r>0 (por isso excluímos a origem do domínio).

Passo 4

Se assumirmos \varphi depende só de r, escrevemos \varphi(r). A regra da cadeia para o gradiente dá:
\nabla\varphi(r)=\varphi'(r)\,\nabla r=\varphi'(r)\,\frac{\vec{r}}{r}=\frac{\varphi'(r)}{r}\,\vec{r}.
Isto é uma identidade geral: o gradiente de uma função radial \varphi(r) é paralelo a \vec{r} e tem esse fator \varphi'(r)/r.

Passo 5

Queremos \nabla\varphi=\vec{F}. Usando a expressão de \vec{F} e a fórmula do gradiente radial, igualamos:
\frac{\varphi'(r)}{r}\,\vec{r}=k\,r^{m}\,\vec{r}.
Como \vec{r} não é o vetor zero no domínio considerado, podemos comparar os escalares multiplicando \vec{r}:
\frac{\varphi'(r)}{r}=k\,r^{m}.
Multiplicando por r:
\varphi'(r)=k\,r^{m+1}.
Isto reduz o problema a integrar uma função unidimensional em r.

Passo 6

Integrar \varphi'(r)=k\,r^{m+1}. Existem dois casos, dependendo de m.
Caso m\neq -2: integrar potência polinomial.
\varphi(r)=\int k\,r^{m+1}\,dr = k\,\frac{r^{m+2}}{m+2}+C,
onde C é constante arbitrária.
Caso m=-2: a potência vira r^{-1}, cuja integral é logaritmo:
\varphi'(r)=k\,r^{-1}\quad\Rightarrow\quad \varphi(r)=k\ln r + C.

Passo 7

Interpretação e condição de validade: as fórmulas acima são válidas para r>0 (por isso o domínio \mathbb{R}^{3}\setminus\{0\} é apropriado). Ter encontrado uma função \varphi(r) tal que \nabla\varphi=\vec{F} prova diretamente que \vec{F} é conservativo no domínio dado (pois existe potencial escalar definido em todo o domínio). O caso m=-2 foi tratado separadamente e deu \varphi=k\ln r+C.

Passo 8

Comentário final didático e motivador: resumindo a ideia prática para a prova — quando o campo é radial do tipo g(r)\vec{r}, tente uma função potencial radial \varphi(r); use \nabla r=\vec{r}/r e reduza para integrar uma função de r. Isso evita cálculo direto de rotacional e é rápido de aplicar na hora da prova. Vai dar certo, respira, você já tem a forma da potencial.

Resposta

\displaystyle \varphi(\vec{r})=\frac{k}{m+2}\,r^{\,m+2}+C,\quad (m\neq -2)\n
\displaystyle \varphi(\vec{r})=k\ln r + C,\quad (m=-2)

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