Determine se a série \sum \frac{k+5}{k^{3}+k^{2}+k+1} converge.

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série \sum_{k=1}^{\infty} \frac{k+5}{k^{3}+k^{2}+k+1} converge. Informações dadas e observações iniciais úteis:
  • A série é a soma dos termos a_k=\frac{k+5}{k^{3}+k^{2}+k+1} para k=1,2,3,\dots.
  • Para k\ge 1 o numerador e o denominador são positivos, então a_k>0 (série de termos positivos).
  • Quando k é grande, o numerador cresce como \sim k e o denominador cresce como \sim k^{3}. Isso sugere que a_k se comporta como uma constante vezes 1/k^{2} para grandes k.

Passo 2

Escolha do método: como temos termos positivos e um comportamento assintótico parecido com 1/k^{2}, o método natural é o teste da comparação (mais precisamente, o teste da comparação limite) com a série p
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{2}},
que sabemos convergir porque é uma série p com p=2>1. Vou usar o teste da comparação limite porque ele funciona bem quando os termos têm o mesmo comportamento assintótico (mesma potência de k).

Passo 3

Defino as duas sequências para aplicar o teste da comparação limite:
a_k=\frac{k+5}{k^{3}+k^{2}+k+1},\qquad b_k=\frac{1}{k^{2}}.
O teste da comparação limite pede que eu calcule
L=\lim_{k\to\infty}\frac{a_k}{b_k}.

Passo 4

Calculo a razão \dfrac{a_k}{b_k} e o limite passo a passo:
\frac{a_k}{b_k}=\frac{\dfrac{k+5}{k^{3}+k^{2}+k+1}}{\dfrac{1}{k^{2}}} =\frac{(k+5)k^{2}}{k^{3}+k^{2}+k+1}.
Desenvolvendo o numerador:
(k+5)k^{2}=k^{3}+5k^{2}.
Portanto
\frac{a_k}{b_k}=\frac{k^{3}+5k^{2}}{k^{3}+k^{2}+k+1}.
Para calcular o limite quando k\to\infty divido numerador e denominador por k^{3}:
\frac{a_k}{b_k}=\frac{1+\dfrac{5}{k}}{1+\dfrac{1}{k}+\dfrac{1}{k^{2}}+\dfrac{1}{k^{3}}}.
Agora faço o limite:
L=\lim_{k\to\infty}\frac{1+\dfrac{5}{k}}{1+\dfrac{1}{k}+\dfrac{1}{k^{2}}+\dfrac{1}{k^{3}}}= \frac{1+0}{1+0+0+0}=1.
Logo L=1, um número finito e estritamente positivo.

Passo 5

Aplicação do teste da comparação limite: o teste diz que se a_k\ge 0, b_k>0 e
L=\lim_{k\to\infty}\frac{a_k}{b_k}
existe com 0< L<\infty, então as séries \sum a_k e \sum b_k convergem ou divergem juntas. Aqui encontramos L=1\in(0,\infty). Sabemos que a série
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{2}}
converge (é uma série p com p=2>1). Portanto, por comparação limite, a série \sum_{k=1}^{\infty} a_k também converge.

Passo 6

Interpretação final e dica prática para prova: como os termos são positivos, a convergência aqui é simples (não precisamos distinguir convergência condicional/absoluta). Em provas, quando o numerador tem ordem k^{m} e o denominador k^{n} com n>m, o termo geral costuma comportar-se como 1/k^{n-m} e a série converge se n-m>1. No nosso caso m=1, n=3, então n-m=2>1 indica convergência. Um exemplo rápido: \sum \frac{2k+1}{k^{4}+1} tem ordem \sim 1/k^{3} e também converge (p=3).

Resposta

A série converge.

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