Determine se a série
converge.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
converge. Informações dadas e observações iniciais úteis:
- A série é a soma dos termos
para . - Para
o numerador e o denominador são positivos, então (série de termos positivos). - Quando
é grande, o numerador cresce como e o denominador cresce como . Isso sugere que se comporta como uma constante vezes para grandes .
Passo 2
Escolha do método: como temos termos positivos e um comportamento assintótico parecido com
, o método natural é o teste da comparação (mais precisamente, o teste da comparação limite) com a série p
que sabemos convergir porque é uma série p com
. Vou usar o teste da comparação limite porque ele funciona bem quando os termos têm o mesmo comportamento assintótico (mesma potência de
).
Passo 3
Defino as duas sequências para aplicar o teste da comparação limite:
O teste da comparação limite pede que eu calcule
Passo 4
Calculo a razão
e o limite passo a passo:
Desenvolvendo o numerador:
Portanto
Para calcular o limite quando
divido numerador e denominador por
:
Agora faço o limite:
Logo
, um número finito e estritamente positivo.
Passo 5
Aplicação do teste da comparação limite: o teste diz que se
,
e
existe com
, então as séries
e
convergem ou divergem juntas. Aqui encontramos
. Sabemos que a série
converge (é uma série p com
). Portanto, por comparação limite, a série
também converge.
Passo 6
Interpretação final e dica prática para prova: como os termos são positivos, a convergência aqui é simples (não precisamos distinguir convergência condicional/absoluta). Em provas, quando o numerador tem ordem
e o denominador
com
, o termo geral costuma comportar-se como
e a série converge se
. No nosso caso
,
, então
indica convergência. Um exemplo rápido:
tem ordem
e também converge (p=3).
Resposta
A série converge.