(a) Using Problem 2-7, show that the sum can be made as close to as desired, by choosing large enough.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a soma pode ser tornada arbitrariamente próxima de para grande. O conteúdo envolvido é soma de Riemann para a função no intervalo e vamos usar o resultado do Problema 2-7, que garante a convergência de somas de Riemann quando a malha da partição tende a zero.
Passo 2
Primeiro observe que podemos escrever
ou seja, é exatamente a soma de Riemann à direita para em com partição uniforme de largura .
Passo 3
Como é contínua em , ela é uniformemente contínua. Logo, para dado existe tal que ||< implica ||<.
Pelo Problema 2-7, se a malha da partição (aqui ) for menor que , então a diferença entre a soma de Riemann e o integral é menor que . Basta escolher
para garantir e assim
Passo 4
Como
integral0^1x^p,dx=1p+1,
segue que para qualquer varepsilon>0 podemos tomar n suficientemente grande de modo que l|sumk=1^nk^pn^p+1-1p+1r|
Resposta
Para qualquer varepsilon>0, escolhendo n tal que n>1/de (onde de vem da uniformidade de x^p), obtemos l|sumk=1^nk^p/n^p+1-1/(p+1)r|. Ou seja, a soma converge arbitrariamente próximo de 1/(p+1) quando ntoinfty.