(a) Using Problem 2-7, show that the sum sumk=1^n k^p / n^p+1 can be made as close to 1 /(p+1) as desired, by choosing n large enough.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a soma Sn=sumk=1^nk^pn^p+1 pode ser tornada arbitrariamente próxima de 1/(p+1) para n grande. O conteúdo envolvido é soma de Riemann para a função f(x)=x^p no intervalo [0,1] e vamos usar o resultado do Problema 2-7, que garante a convergência de somas de Riemann quando a malha da partição tende a zero.

Passo 2

Primeiro observe que podemos escrever
Sn=sumk=1^nk^pn^p+1=sumk=1^nfl(knr),1n,
ou seja, Sn é exatamente a soma de Riemann à direita para f(x)=x^p em [0,1] com partição uniforme de largura De.

Passo 3

Como f(x)=x^p é contínua em [0,1], ela é uniformemente contínua. Logo, para dado varepsilon>0 existe de0 tal que | x-y|< de implica | f(x)-f(y)|< varepsilon.
Pelo Problema 2-7, se a malha da partição (aqui maxDe) for menor que de, então a diferença entre a soma de Riemann Sn e o integral integral0^1f(x),dx é menor que varepsilon. Basta escolher
n>1/de
para garantir 1/n e assim
l|Sn-integral0^1x^p,dxr|

Passo 4

Como
integral0^1x^p,dx=1p+1,
segue que para qualquer varepsilon>0 podemos tomar n suficientemente grande de modo que
l|sumk=1^nk^pn^p+1-1p+1r|

Resposta

Para qualquer varepsilon>0, escolhendo n tal que n>1/de (onde de vem da uniformidade de x^p), obtemos l|sumk=1^nk^p/n^p+1-1/(p+1)r|. Ou seja, a soma converge arbitrariamente próximo de 1/(p+1) quando ntoinfty.

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