Let P, Q, and R be distinct points on a line \ell, and let P^{\prime}, Q^{\prime}, and R^{\prime} be distinct points on a line \ell^{\prime}. Prove that there is a unique projectivity sending P to P^{\prime}, Q to Q^{\prime}, and R to R^{\prime}.

Passo 1

O enunciado dá duas retas \ell e \ell'. Na reta \ell há três pontos distintos P,Q,R. Na reta \ell' há três pontos distintos P',Q',R'. O pedido é mostrar que existe exatamente uma projectividade f:\ell\to\ell' tal que
f(P)=P',\qquad f(Q)=Q',\qquad f(R)=R'.
Aqui vamos usar a definição padrão: uma projectividade entre retas projectivas é o mapa induzido por um isomorfismo linear entre os espaços vetoriais de dimensão 2 que as modelam (ou, equivalentemente, é a aplicação que envia subespaços de dimensão 1 em subespaços de dimensão 1 por um isomorfismo linear).

Passo 2

Modelagem vetorial das retas projectivas (ideia básica). Cada reta projectiva \ell pode ser vista como o conjunto das subespaços de dimensão 1 de um espaço vetorial de dimensão 2. Ou seja, existe um espaço vetorial V de dimensão 2 tal que pontos de \ell correspondem a rectas (linhas) através da origem em V. De forma análoga existe V' de dimensão 2 modelando \ell'. Dar uma projectividade \ell\to\ell' equivale a dar um isomorfismo linear L:V\to V' (mod multiplicação por escalar), que induz um mapeamento entre as rectas (subespaços de dimensão 1).

Passo 3

Escolha de representantes vetoriais. Escolha vetores não nulos u,v,w\in V que representam os pontos P,Q,R, isto é
\text{span}(u)=P,\qquad \text{span}(w)=R,\qquad \text{span}(v)=Q.
Como P e R são pontos distintos, \text{span}(u)\neq\text{span}(w), logo u e w são linearmente independentes e assim formam uma base de V. O vetor v que representa Q é uma combinação linear não trivial de u e w:
v=\alpha u+\beta w,
com \alpha\neq0 e \beta\neq0 porque Q não coincide com P nem com R. Agora podemos reescalar os vetores u e w (multiplicando-os por escalares não nulos) para obter vetores e_1,e_2 tais que
\text{span}(e_1)=P,\qquad \text{span}(e_2)=R,\qquad \text{span}(e_1+e_2)=Q.
Explicação prática: escrevendo v=\alpha u+\beta w, definir e_1=\alpha u e e_2=\beta w v=e_1+e_2 e mantém \text{span}(e_1)=P, \text{span}(e_2)=R.

Passo 4

Repita o mesmo do lado de \ell'. Escolha um espaço vetorial V' de dimensão 2 e vectores e_1',e_2'\in V' tais que
\text{span}(e_1')=P',\qquad \text{span}(e_2')=R',\qquad \text{span}(e_1'+e_2')=Q'.
Isto é possível pelo mesmo raciocínio de reescalamento: escolhe-se representantes para P',Q',R' e reescala-se para que o representante de Q' seja a soma dos representantes de P' e R'.

Passo 5

Construção do isomorfismo linear. Defina L:V\to V' como o único mapa linear que envia a base \{e_1,e_2\} em \{e_1',e_2'\}, isto é
L(e_1)=e_1',\qquad L(e_2)=e_2'.
Como \{e_1,e_2\} e \{e_1',e_2'\} são bases, L é um isomorfismo linear. Esse isomorfismo envia rectas (subespaços de dimensão 1) em rectas, logo induz uma aplicação entre as retas projectivas \ell e \ell'. Denotemos por f a projectividade induzida por L. Verificamos:
f(P)=\text{span}(L(e_1))=\text{span}(e_1')=P',
f(R)=\text{span}(L(e_2))=\text{span}(e_2')=R',
e como L(e_1+e_2)=L(e_1)+L(e_2)=e_1'+e_2' segue
f(Q)=\text{span}(L(e_1+e_2))=\text{span}(e_1'+e_2')=Q'.
Portanto existe ao menos uma projectividade que manda P,Q,R em P',Q',R'.

Passo 6

Provar unicidade (parte essencial). Suponha que exista outra projectividade g:\ell\to\ell' que também satisfaça g(P)=P',\\ g(Q)=Q',\\ g(R)=R'. Então g é induzida por algum isomorfismo linear M:V\to V' (único até escala multiplicativa). Como g envia as mesmas três rectas, temos, para alguns escalares \lambda,\mu,\nu\in\mathbb{K}^\times,
M(e_1)=\lambda e_1',\qquad M(e_2)=\mu e_2',\qquad M(e_1+e_2)=\nu(e_1'+e_2').
Pela linearidade de M vale
M(e_1)+M(e_2)=M(e_1+e_2).
Substituindo as expressões acima obtemos
\lambda e_1' + \mu e_2' = \nu e_1' + \nu e_2'.
Como \{e_1',e_2'\} é base, os coeficientes devem coincidir, isto é \lambda=\nu e \mu=\nu. Logo \lambda=\mu=\nu. Isso mostra que
M=\lambda L.
Portanto o isomorfismo linear que induz g difere do isomorfismo linear L por um escalar multiplicativo. Mas escalamento por um escalar não altera a projectividade induzida (porque projectividade depende só da direcção das rectas imagens). Conclui-se que g e f são a mesma projectividade. Assim a projectividade que envia P,Q,R em P',Q',R' é única.

Passo 7

Comentário intuitivo e resumo didático. Intuitivamente: escolher três pontos distintos numa reta equivale a fixar uma “base projectiva” nessa reta; ao escolher três pontos destino correspondentes, há uma única forma linear (até escalar) de enviar uma base em outra, e essa linearidade induz uma única aplicação projectiva entre as retas. A parte técnica principal foi: (i) escolher representantes vetoriais e normalizá‑los para ter a forma conveniente e_1,e_2,e_1+e_2; (ii) definir o isomorfismo linear que manda uma base na outra; (iii) observar que qualquer outro isomorfismo que produza a mesma correspondência de pontos só pode diferir por escalar, o que não muda a projectividade.

Resposta

Existe uma única projectividade f:\ell\to\ell' tal que f(P)=P',\\ f(Q)=Q',\\ f(R)=R'.

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