Let
, and
be distinct points on a line
, and let
, and
be distinct points on a line
. Prove that there is a unique projectivity sending
to
to
, and
to
.
Passo 1
O enunciado dá duas retas
e
. Na reta
há três pontos distintos
. Na reta
há três pontos distintos
. O pedido é mostrar que existe exatamente uma projectividade
tal que
Aqui vamos usar a definição padrão: uma projectividade entre retas projectivas é o mapa induzido por um isomorfismo linear entre os espaços vetoriais de dimensão
que as modelam (ou, equivalentemente, é a aplicação que envia subespaços de dimensão
em subespaços de dimensão
por um isomorfismo linear).
Passo 2
Modelagem vetorial das retas projectivas (ideia básica). Cada reta projectiva
pode ser vista como o conjunto das subespaços de dimensão
de um espaço vetorial de dimensão
. Ou seja, existe um espaço vetorial
de dimensão
tal que pontos de
correspondem a rectas (linhas) através da origem em
. De forma análoga existe
de dimensão
modelando
. Dar uma projectividade
equivale a dar um isomorfismo linear
(mod multiplicação por escalar), que induz um mapeamento entre as rectas (subespaços de dimensão
).
Passo 3
Escolha de representantes vetoriais. Escolha vetores não nulos
que representam os pontos
, isto é
Como
e
são pontos distintos,
, logo
e
são linearmente independentes e assim formam uma base de
. O vetor
que representa
é uma combinação linear não trivial de
e
:
com
e
porque
não coincide com
nem com
. Agora podemos reescalar os vetores
e
(multiplicando-os por escalares não nulos) para obter vetores
tais que
Explicação prática: escrevendo
, definir
e
dá
e mantém
,
.
Passo 4
Repita o mesmo do lado de
. Escolha um espaço vetorial
de dimensão
e vectores
tais que
Isto é possível pelo mesmo raciocínio de reescalamento: escolhe-se representantes para
e reescala-se para que o representante de
seja a soma dos representantes de
e
.
Passo 5
Construção do isomorfismo linear. Defina
como o único mapa linear que envia a base
em
, isto é
Como
e
são bases,
é um isomorfismo linear. Esse isomorfismo envia rectas (subespaços de dimensão
) em rectas, logo induz uma aplicação entre as retas projectivas
e
. Denotemos por
a projectividade induzida por
. Verificamos:
e como
segue
Portanto existe ao menos uma projectividade que manda
em
.
Passo 6
Provar unicidade (parte essencial). Suponha que exista outra projectividade
que também satisfaça
. Então
é induzida por algum isomorfismo linear
(único até escala multiplicativa). Como
envia as mesmas três rectas, temos, para alguns escalares
,
Pela linearidade de
vale
Substituindo as expressões acima obtemos
Como
é base, os coeficientes devem coincidir, isto é
e
. Logo
. Isso mostra que
Portanto o isomorfismo linear que induz
difere do isomorfismo linear
por um escalar multiplicativo. Mas escalamento por um escalar não altera a projectividade induzida (porque projectividade depende só da direcção das rectas imagens). Conclui-se que
e
são a mesma projectividade. Assim a projectividade que envia
em
é única.
Passo 7
Comentário intuitivo e resumo didático. Intuitivamente: escolher três pontos distintos numa reta equivale a fixar uma “base projectiva” nessa reta; ao escolher três pontos destino correspondentes, há uma única forma linear (até escalar) de enviar uma base em outra, e essa linearidade induz uma única aplicação projectiva entre as retas. A parte técnica principal foi: (i) escolher representantes vetoriais e normalizá‑los para ter a forma conveniente
; (ii) definir o isomorfismo linear que manda uma base na outra; (iii) observar que qualquer outro isomorfismo que produza a mesma correspondência de pontos só pode diferir por escalar, o que não muda a projectividade.
Resposta
Existe uma única projectividade
tal que
.