Prove the formula for (d / d x)\left(\cos ^{-1} x\right) by the same method as for (d / d x)\left(\sin ^{-1} x\right).

Passo 1

O problema pede que eu prove a fórmula da derivada de \cos^{-1}x, ou seja, encontrar \dfrac{d}{dx}\big(\cos^{-1}x\big). Informações/dados relevantes do enunciado (implícitos na definição da função inversa principal):
  • A função y=\cos^{-1}x é a inversa principal de \cos y, com domínio x\in[-1,1] e imagem y\in[0,\pi].
  • Quero a expressão da derivada em termos de x (e o intervalo onde ela vale).

Passo 2

Faço a substituição padrão para funções inversas: defino
y=\cos^{-1}x.
Pela definição de inversa isso significa exatamente
\cos y = x.
Aqui y depende de x (ou seja y=y(x)). A ideia é diferenciar implicitamente essa igualdade em relação a x para obter dy/dx. Não resolvo ainda — só estabeleci a relação que vou diferenciar.

Passo 3

Vou diferenciar ambos os lados da igualdade \cos y = x em relação a x. Lembrete do cálculo: quando diferenciamos uma função composta como \cos(y(x)), usamos a regra da cadeia; a derivada de \cos u em relação a u é -\sin u, então
\frac{d}{dx}\big(\cos y\big) = -\sin y \cdot \frac{dy}{dx}.
Do lado direito,
\frac{d}{dx}(x)=1.
Portanto, ao diferenciar \cos y = x obtemos
-\sin y \cdot \frac{dy}{dx} = 1.
Isolando \dfrac{dy}{dx},
\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sin y}.
Isso já é uma expressão para a derivada, porém está em termos de y. Preciso reescrever em termos de x.

Passo 4

Uso a identidade trigonométrica pitagórica para trocar \sin y por uma expressão em \cos y:
\sin^{2}y + \cos^{2}y = 1.
Como \cos y = x, temos
\sin^{2}y = 1 - \cos^{2}y = 1 - x^{2}.
Então
\sin y = \pm\sqrt{1 - x^{2}}.
Agora é crucial escolher o sinal correto. Lembre que, pela definição principal de \cos^{-1}x, o ângulo y está no intervalo [0,\pi]. Em [0,\pi] a função \sin y é não negativa (isto é, \sin y\ge 0). Portanto devemos tomar o sinal positivo:
\sin y = \sqrt{1 - x^{2}}\quad\text{(para }y\in[0,\pi]\text{).}
Substituindo em \dfrac{dy}{dx} = -1/\sin y obtemos
\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}.

Passo 5

Interpretação final e domínio de validade: a dedução usou \sin y=\sqrt{1-x^{2}}, que exige 1-x^{2}\ge 0, ou seja x\in[-1,1]. Porém a derivada que obtivemos tem denominador zero quando x=\pm 1, então a fórmula é válida (finita e bem definida) para
-1<x<1.
Em x=\pm 1 a derivada não é finita (tende a -\infty ao aproximar-se dos extremos pela esquerda/direita), então não existe derivada ordinária nesses pontos.

Passo 6

Cheque rápido (exemplo numérico) para fixar: em x=0 temos \cos^{-1}0=\pi/2. Pela fórmula,
\frac{d}{dx}\big(\cos^{-1}x\big)\Big|_{x=0} = -\frac{1}{\sqrt{1-0^{2}}} = -1,
o que faz sentido: arccos decresce em torno de 0, então derivada negativa.

Resposta

\frac{d}{dx}\big(\cos^{-1}x\big) = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}},\qquad -1<x<1.

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