Use implicit differentiation to find an equation of the tangent line to the curve at the given point.
(lemniscate)
Passo 1
O enunciado pede: "usar diferenciação implícita para encontrar a equação da reta tangente à curva
no ponto
". Informações dadas que vamos usar:
- A equação da curva é
- O ponto onde queremos a tangente é
. - Pedido: achar a reta tangente (ou seja, sua equação), para isso precisamos do coeficiente angular
no ponto e então usar a forma ponto-declive da reta.
Passo 2
Conceito e estratégia (aula rápida e sem enrolação): estamos diante de uma curva dada implicitamente por uma relação entre
e
. Não dá para isolar
facilmente, então usamos diferenciação implícita: derivamos ambos os lados da igualdade em relação a
, tratando
como função de
(ou seja, quando derivamos
aparece o fator
, que vou chamar de
). Também usaremos a regra da cadeia: se
é uma função,
. E
.
Passo 3
Derivando ambos os lados da equação em relação a
.
Escrevemos a equação como
Aplicando derivada em ambos os lados:
Para o lado esquerdo usamos a regra da cadeia duas vezes:
E
. Logo o lado esquerdo vira
Para o lado direito:
Portanto a igualdade das derivadas é
Passo 4
Isolando
(mostrando cada passo de álgebra):
Expandimos o fator com e agrupamos:
Expandimos o fator com
Colocamos os termos com
no mesmo lado e os sem
do outro:
Fatoramos
no lado esquerdo:
Finalmente,
Essa é a expressão geral da derivada implícita para esta curva.
Passo 5
Avaliação da derivada no ponto
.
Calcule
em
:
Substituindo na fórmula de
:
Logo o coeficiente angular da reta tangente em
é
.
Passo 6
Encontrando a equação da reta tangente.
Usamos a forma ponto-declive:
Com
e
:
Se preferir colocar em forma explícita
, expandimos: