Use implicit differentiation to find an equation of the tangent line to the curve at the given point.
2\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}=25\left(x^{2}-y^{2}\right) (3,1) (lemniscate)

Passo 1

O enunciado pede: "usar diferenciação implícita para encontrar a equação da reta tangente à curva 2\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}=25\left(x^{2}-y^{2}\right) no ponto (3,1)". Informações dadas que vamos usar:
  • A equação da curva é 2\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}=25\left(x^{2}-y^{2}\right).
  • O ponto onde queremos a tangente é (x,y)=(3,1).
  • Pedido: achar a reta tangente (ou seja, sua equação), para isso precisamos do coeficiente angular \dfrac{dy}{dx} no ponto e então usar a forma ponto-declive da reta.

Passo 2

Conceito e estratégia (aula rápida e sem enrolação): estamos diante de uma curva dada implicitamente por uma relação entre x e y. Não dá para isolar y facilmente, então usamos diferenciação implícita: derivamos ambos os lados da igualdade em relação a x, tratando y como função de x (ou seja, quando derivamos y aparece o fator \dfrac{dy}{dx}, que vou chamar de y'). Também usaremos a regra da cadeia: se u(x,y) é uma função, \dfrac{d}{dx} [u^2] = 2u\cdot \dfrac{du}{dx}. E \dfrac{d}{dx}(y^2)=2y\cdot y'.

Passo 3

Derivando ambos os lados da equação em relação a x.
Escrevemos a equação como
2\,(x^{2}+y^{2})^{2}=25\,(x^{2}-y^{2}).
Aplicando derivada em ambos os lados:
Para o lado esquerdo usamos a regra da cadeia duas vezes:
\frac{d}{dx}\left[2\,(x^{2}+y^{2})^{2}\right] =2\cdot 2(x^{2}+y^{2})\cdot\frac{d}{dx}(x^{2}+y^{2}).
E \dfrac{d}{dx}(x^{2}+y^{2})=2x+2y\,y'. Logo o lado esquerdo vira
4(x^{2}+y^{2})(2x+2y\,y')=8(x^{2}+y^{2})(x+y\,y').
Para o lado direito:
\frac{d}{dx}\left[25(x^{2}-y^{2})\right]=25(2x-2y\,y')=50(x-y\,y').
Portanto a igualdade das derivadas é
8(x^{2}+y^{2})(x+y\,y')=50(x-y\,y').

Passo 4

Isolando y' (mostrando cada passo de álgebra):
Expandimos o fator com y' e agrupamos:
8(x^{2}+y^{2})x + 8(x^{2}+y^{2})y\,y' = 50x - 50y\,y'.
Colocamos os termos com y' no mesmo lado e os sem y' do outro:
8(x^{2}+y^{2})y\,y' + 50y\,y' = 50x - 8(x^{2}+y^{2})x.
Fatoramos y' no lado esquerdo:
y'\big(8y(x^{2}+y^{2}) + 50y\big) = x\big(50 - 8(x^{2}+y^{2})\big).
Finalmente,
y' = \frac{x\big(50 - 8(x^{2}+y^{2})\big)}{y\big(8(x^{2}+y^{2}) + 50\big)}.
Essa é a expressão geral da derivada implícita para esta curva.

Passo 5

Avaliação da derivada no ponto (3,1).
Calcule x^{2}+y^{2} em (3,1):
x^{2}+y^{2}=3^{2}+1^{2}=9+1=10.
Substituindo na fórmula de y':
y'=\frac{3\big(50-8\cdot 10\big)}{1\big(8\cdot 10+50\big)} =\frac{3(50-80)}{80+50} =\frac{3(-30)}{130} =\frac{-90}{130}=-\frac{9}{13}.
Logo o coeficiente angular da reta tangente em (3,1) é m=-\dfrac{9}{13}.

Passo 6

Encontrando a equação da reta tangente.
Usamos a forma ponto-declive:
y-y_0=m(x-x_0).
Com (x_0,y_0)=(3,1) e m=-\dfrac{9}{13}:
y-1=-\frac{9}{13}(x-3).
Se preferir colocar em forma explícita y=mx+b, expandimos:
y-1=-\frac{9}{13}x+\frac{27}{13}\quad\Rightarrow\quad y=-\frac{9}{13}x+\frac{27}{13}+1
y=-\frac{9}{13}x+\frac{40}{13}.

Resposta

y-1=-\dfrac{9}{13}(x-3)
y=-\dfrac{9}{13}x+\dfrac{40}{13}

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