Use implicit differentiation to find an equation of the tangent line to the curve at the given point. y^{2}\left(y^{2}-4\right)=x^{2}\left(x^{2}-5\right) (0,-2) (devil’s curve)
Passo 1
O enunciado dá a curva implícita
y^{2}\bigl(y^{2}-4\bigr)=x^{2}\bigl(x^{2}-5\bigr)
e pede a equação da reta tangente à curva no ponto \,(0,-2).
Informações relevantes que temos:
A equação da curva é \;y^{2}(y^{2}-4)=x^{2}(x^{2}-5).\n
O ponto onde queremos a tangente é \,(0,-2).\n
A tarefa é: encontrar a inclinação da tangente em \,(0,-2) (isto é, \dfrac{dy}{dx} naquele ponto) e então escrever a equação da reta tangente.
Passo 2
Primeiro vamos verificar que o ponto \,(0,-2) realmente pertence à curva — é sempre bom checar para não perder tempo. Substituímos x=0 e y=-2 na equação:
Como ambos lados dão 0, o ponto \,(0,-2) está na curva. Bom — podemos prosseguir.
Passo 3
Agora aplicamos diferenciação implícita: derivamos ambos os lados da equação em relação a x. Antes, é útil escrever a curva de forma polinomial:
y^{4}-4y^{2}=x^{4}-5x^{2}.
Explicando a técnica: ao diferenciar termos que dependem de y (como y^{4}), usamos a regra da cadeia: a derivada de y^{4} em relação a x é 4y^{3}\cdot \dfrac{dy}{dx}, porque primeiro derivamos em relação a y e depois multiplicamos por dy/dx. Para x-termos usamos derivação normal. Portanto: