Use implicit differentiation to find an equation of the tangent line to the curve at the given point.
y^{2}\left(y^{2}-4\right)=x^{2}\left(x^{2}-5\right) (0,-2) (devil’s curve)

Passo 1

O enunciado dá a curva implícita
y^{2}\bigl(y^{2}-4\bigr)=x^{2}\bigl(x^{2}-5\bigr)
e pede a equação da reta tangente à curva no ponto \,(0,-2).
Informações relevantes que temos:
  • A equação da curva é \;y^{2}(y^{2}-4)=x^{2}(x^{2}-5).\n
  • O ponto onde queremos a tangente é \,(0,-2).\n
    A tarefa é: encontrar a inclinação da tangente em \,(0,-2) (isto é, \dfrac{dy}{dx} naquele ponto) e então escrever a equação da reta tangente.

Passo 2

Primeiro vamos verificar que o ponto \,(0,-2) realmente pertence à curva — é sempre bom checar para não perder tempo. Substituímos x=0 e y=-2 na equação:
\text{Lado esquerdo} = y^{2}(y^{2}-4)=(-2)^{2}\bigl((-2)^{2}-4\bigr)=4\bigl(4-4\bigr)=4\cdot 0=0.
\text{Lado direito} = x^{2}(x^{2}-5)=0^{2}\bigl(0^{2}-5\bigr)=0.
Como ambos lados dão 0, o ponto \,(0,-2) está na curva. Bom — podemos prosseguir.

Passo 3

Agora aplicamos diferenciação implícita: derivamos ambos os lados da equação em relação a x. Antes, é útil escrever a curva de forma polinomial:
y^{4}-4y^{2}=x^{4}-5x^{2}.
Explicando a técnica: ao diferenciar termos que dependem de y (como y^{4}), usamos a regra da cadeia: a derivada de y^{4} em relação a x é 4y^{3}\cdot \dfrac{dy}{dx}, porque primeiro derivamos em relação a y e depois multiplicamos por dy/dx. Para x-termos usamos derivação normal. Portanto:
\frac{d}{dx}\bigl(y^{4}-4y^{2}\bigr)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{4}-5x^{2}\bigr).
Computando cada derivada:
\frac{d}{dx}\bigl(y^{4}\bigr)=4y^{3}\frac{dy}{dx},\qquad \frac{d}{dx}\bigl(-4y^{2}\bigr)=-8y\frac{dy}{dx},
\frac{d}{dx}\bigl(x^{4}\bigr)=4x^{3},\qquad \frac{d}{dx}\bigl(-5x^{2}\bigr)=-10x.
Juntando:
\bigl(4y^{3}-8y\bigr)\frac{dy}{dx}=4x^{3}-10x.

Passo 4

Isolamos \dfrac{dy}{dx}:
\frac{dy}{dx}=\frac{4x^{3}-10x}{4y^{3}-8y}.
Podemos simplificar fatorando 2:
\frac{dy}{dx}=\frac{2x^{3}-5x}{2y^{3}-4y}.
Ou, fatorando x e y, outra forma útil para entender zeros:
\frac{dy}{dx}=\frac{x\bigl(2x^{2}-5\bigr)}{2y\bigl(y^{2}-2\bigr)}.
Essas transformações não mudam o valor de \dfrac{dy}{dx}, só deixam a expressão mais clara.

Passo 5

Agora avaliamos \dfrac{dy}{dx} no ponto \,(0,-2). Usando a forma \dfrac{4x^{3}-10x}{4y^{3}-8y}:
\text{numerador} = 4\cdot 0^{3}-10\cdot 0 = 0,
\text{denominador} = 4\cdot(-2)^{3}-8\cdot(-2)=4\cdot(-8)-8\cdot(-2)=-32+16=-16.
Portanto
\left.\frac{dy}{dx}\right|_{(0,-2)}=\frac{0}{-16}=0.
Interpretação: a inclinação da reta tangente é 0, isto é, a tangente é horizontal naquele ponto.

Passo 6

Para escrever a equação da reta tangente usamos a forma ponto-inclinação:
y-y_{0}=m(x-x_{0}),
onde (x_{0},y_{0})=(0,-2) e m=0. Substituindo estes valores obtemos a equação da reta tangente (a forma final está na seção de resposta).

Resposta

y=-2

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