Two curves are orthogonal if their tangent lines are perpendicular at each point of intersection. Show that the given families of curves are orthogonal trajectories of each other, that is, every curve in one family is orthogonal to every curve in the other family. Sketch both families of curves on the same axes.
Passo 1
O enunciado dá duas famílias de curvas e pede duas coisas: (1) mostrar que cada curva de uma família é ortogonal a cada curva da outra família e (2) esboçar as duas famílias no mesmo sistema de eixos. As informações dadas são:
- Família 1:
, onde é o parâmetro (pode variar por todos os reais). - Família 2:
, onde é o parâmetro (normalmente para curvas não degeneradas).
O que precisamos provar, exatamente: em cada ponto comum (interseção) entre uma curva da família 1 e uma curva da família 2, as tangentes são perpendiculares. Em termos de inclinações, se
é a derivada
da curva da família 1 e
a da família 2, então devemos mostrar que
em todo ponto de interseção (exceto casos degenerados que devem ser observados).
Passo 2
Estratégia geral e ferramenta principal (aula curta): para verificar ortogonalidade entre famílias usamos derivadas (inclinações das tangentes). Regras úteis:
- Se uma curva é dada explicitamente por
, então a inclinação da tangente é . - Se uma curva é dada implicitamente por
, diferenciamos ambos os lados em relação a usando a diferenciação implícita; quando aparecer usamos a regra da cadeia: . - Para duas tangentes serem perpendiculares precisamos de
, desde que as tangentes não sejam ambas verticais/horizontais degeneradas.
Vamos aplicar isso diretamente às duas famílias.
Passo 3
Derivada da família
:
- Esta é uma expressão explícita em
. Diferenciando em relação a (e lembrando que é constante quando fixamos uma curva),
- Observação importante para eliminar o parâmetro
: na interseção usamos que a e x,y satisfazem , portanto podemos escrever
desde que
. Substituindo em
obtemos a inclinação da curva da família 1 em termos de
:
Expliquei a eliminação de
para que a inclinação seja expressa apenas por
e
, o que é necessário para comparar com a inclinação da outra família no ponto de interseção.
Passo 4
Derivada da família implícita
:
- Diferenciamos ambos os lados em relação a
. O lado direito é constante , então tem derivada . - No lado esquerdo:
e (usei a regra da cadeia). - Igualando,
- Isolando
,
desde que
. Isso é a inclinação da tangente à elipse (ou à curva dada por
) em termos de
.
Passo 5
Verificação do produto das inclinações nos pontos de interseção:
- Em um ponto de interseção
ambas as expressões de e valem e são dadas por
- Multiplicando:
- Portanto, em qualquer ponto de interseção (com
e ) as tangentes são perpendiculares, o que prova que as famílias são trajetórias ortogonais entre si.
Observações sobre casos degenerados: a dedução usou divisão por
e por
. Quando
ou
precisamos checar separadamente:
- A família
sempre passa por (para qualquer ). A família passa por somente se (caso degenerado: a curva reduz-se ao ponto). Logo, interseções não degeneradas entre uma elipse não-trivial ( ) e um cúbico ocorrem com e , de modo que a verificação acima cobre os pontos relevantes da prova. Em resumo: as famílias são ortogonais nas interseções não degeneradas.
Passo 6
Como esboçar as duas famílias (instrução passo a passo e descrição para desenhar à mão):
-
Família
: - São cúbicas ímpares que sempre passam pela origem
. - Para
a curva sobe no primeiro quadrante e desce no terceiro; para inverte. - A inclinação em
é , então próxima de as curvas são bem planas (tangente horizontal no zero) e tornam-se rapidamente mais íngremes para maiores. - Para desenhar: trace algumas curvas com
positivos e negativos (ex.: ). Todas cruzam a origem e têm inflexão ali.
- São cúbicas ímpares que sempre passam pela origem
-
Família
: - São elipses centradas na origem, com semieixos:
- Ou seja, cada elipse é mais estendida ao longo do eixo
do que ao longo do eixo (fator entre os semieixos). - Para desenhar: escolha valores
(ex.: ) e desenhe elipses centradas na origem; as interseções com as cúbicas tipicamente ocorrem em pontos com coordenadas não nulas.
- São elipses centradas na origem, com semieixos:
-
Como colocar no mesmo gráfico:
- No mesmo sistema cartesiano desenhe várias elipses concêntricas (com crescente
) e várias cúbicas passando pela origem (com vários ). - Em cada interseção você verá que a reta tangente às duas curvas forma um ângulo de
. Pinte algumas interseções e desenhe as tangentes para visualizar a ortogonalidade. - Dica prática: para elipse com
os interceptos são e . Para a cúbica com , por exemplo, passeie por pontos etc. Isso ajuda a posicioná-las corretamente ao esboçar.
- No mesmo sistema cartesiano desenhe várias elipses concêntricas (com crescente
Resposta
As famílias são trajetórias ortogonais: em cada ponto de interseção (não degenerado) as inclinações são
e
e obedecem
.
Esboço: curvas são cúbicas ímpares passando por
; curvas
são elipses centradas na origem com semieixos
(eixo
) e
(eixo
); desenhe várias de cada família no mesmo eixo para visualizar as interseções perpendiculares.
Esboço: curvas