Two curves are orthogonal if their tangent lines are perpendicular at each point of intersection. Show that the given families of curves are orthogonal trajectories of each other, that is, every curve in one family is orthogonal to every curve in the other family. Sketch both families of curves on the same axes.
y=a x^{3}, \quad x^{2}+3 y^{2}=b

Passo 1

O enunciado dá duas famílias de curvas e pede duas coisas: (1) mostrar que cada curva de uma família é ortogonal a cada curva da outra família e (2) esboçar as duas famílias no mesmo sistema de eixos. As informações dadas são:
  • Família 1: y = a x^{3}, onde a é o parâmetro (pode variar por todos os reais).
  • Família 2: x^{2} + 3y^{2} = b, onde b é o parâmetro (normalmente b>0 para curvas não degeneradas).
O que precisamos provar, exatamente: em cada ponto comum (interseção) entre uma curva da família 1 e uma curva da família 2, as tangentes são perpendiculares. Em termos de inclinações, se m_1 é a derivada \dfrac{dy}{dx} da curva da família 1 e m_2 a da família 2, então devemos mostrar que
m_1\cdot m_2 = -1
em todo ponto de interseção (exceto casos degenerados que devem ser observados).

Passo 2

Estratégia geral e ferramenta principal (aula curta): para verificar ortogonalidade entre famílias usamos derivadas (inclinações das tangentes). Regras úteis:
  • Se uma curva é dada explicitamente por y=f(x), então a inclinação da tangente é \dfrac{dy}{dx}=f'(x).
  • Se uma curva é dada implicitamente por F(x,y)=\text{constante}, diferenciamos ambos os lados em relação a x usando a diferenciação implícita; quando aparecer dy/dx usamos a regra da cadeia: \dfrac{d}{dx}y^2 = 2y\cdot \dfrac{dy}{dx}.
  • Para duas tangentes serem perpendiculares precisamos de m_1 m_2 = -1, desde que as tangentes não sejam ambas verticais/horizontais degeneradas.
Vamos aplicar isso diretamente às duas famílias.

Passo 3

Derivada da família y = a x^{3}:
  • Esta é uma expressão explícita em y. Diferenciando em relação a x (e lembrando que a é constante quando fixamos uma curva),
\frac{dy}{dx} = 3 a x^{2}.
  • Observação importante para eliminar o parâmetro a: na interseção usamos que a e x,y satisfazem y = a x^{3}, portanto podemos escrever
a = \frac{y}{x^{3}},
desde que x\neq 0. Substituindo em \dfrac{dy}{dx} obtemos a inclinação da curva da família 1 em termos de (x,y):
m_{1}=\frac{dy}{dx}=3 a x^{2}=3\left(\frac{y}{x^{3}}\right)x^{2}=\frac{3y}{x}.
Expliquei a eliminação de a para que a inclinação seja expressa apenas por x e y, o que é necessário para comparar com a inclinação da outra família no ponto de interseção.

Passo 4

Derivada da família implícita x^{2}+3y^{2}=b:
  • Diferenciamos ambos os lados em relação a x. O lado direito é constante (b), então tem derivada 0.
  • No lado esquerdo: \dfrac{d}{dx}x^{2}=2x e \dfrac{d}{dx}3y^{2}=3\cdot 2y\cdot \dfrac{dy}{dx}=6y\,\dfrac{dy}{dx} (usei a regra da cadeia).
  • Igualando,
2x + 6y\frac{dy}{dx} = 0.
  • Isolando \dfrac{dy}{dx},
m_{2}=\frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{6y} = -\frac{x}{3y},
desde que y\neq 0. Isso é a inclinação da tangente à elipse (ou à curva dada por x^{2}+3y^{2}=b) em termos de (x,y).

Passo 5

Verificação do produto das inclinações nos pontos de interseção:
  • Em um ponto de interseção (x,y) ambas as expressões de m_1 e m_2 valem e são dadas por
m_{1}=\frac{3y}{x},\qquad m_{2}=-\frac{x}{3y}.
  • Multiplicando:
m_{1}\cdot m_{2}=\left(\frac{3y}{x}\right)\left(-\frac{x}{3y}\right)=-1.
  • Portanto, em qualquer ponto de interseção (com x\neq 0 e y\neq 0) as tangentes são perpendiculares, o que prova que as famílias são trajetórias ortogonais entre si.
Observações sobre casos degenerados: a dedução usou divisão por x e por y. Quando x=0 ou y=0 precisamos checar separadamente:
  • A família y=ax^{3} sempre passa por (0,0) (para qualquer a). A família x^{2}+3y^{2}=b passa por (0,0) somente se b=0 (caso degenerado: a curva reduz-se ao ponto). Logo, interseções não degeneradas entre uma elipse não-trivial ( b>0) e um cúbico ocorrem com x\neq 0 e y\neq 0, de modo que a verificação acima cobre os pontos relevantes da prova. Em resumo: as famílias são ortogonais nas interseções não degeneradas.

Passo 6

Como esboçar as duas famílias (instrução passo a passo e descrição para desenhar à mão):
  • Família y = a x^{3}:
    • São cúbicas ímpares que sempre passam pela origem (0,0).
    • Para a>0 a curva sobe no primeiro quadrante e desce no terceiro; para a<0 inverte.
    • A inclinação em x é 3a x^{2}, então próxima de x=0 as curvas são bem planas (tangente horizontal no zero) e tornam-se rapidamente mais íngremes para |x| maiores.
    • Para desenhar: trace algumas curvas com a positivos e negativos (ex.: a=\pm 0{,}5,\pm1,\pm2). Todas cruzam a origem e têm inflexão ali.
  • Família x^{2}+3y^{2}=b:
    • São elipses centradas na origem, com semieixos: a_x=\sqrt{b}\quad(\text{no eixo }x),\qquad a_y=\sqrt{\frac{b}{3}}\quad(\text{no eixo }y).
    • Ou seja, cada elipse é mais estendida ao longo do eixo x do que ao longo do eixo y (fator \sqrt{3} entre os semieixos).
    • Para desenhar: escolha valores b>0 (ex.: b=1,3,6) e desenhe elipses centradas na origem; as interseções com as cúbicas tipicamente ocorrem em pontos com coordenadas não nulas.
  • Como colocar no mesmo gráfico:
    • No mesmo sistema cartesiano desenhe várias elipses concêntricas (com crescente b) e várias cúbicas passando pela origem (com vários a).
    • Em cada interseção você verá que a reta tangente às duas curvas forma um ângulo de 90^\circ. Pinte algumas interseções e desenhe as tangentes para visualizar a ortogonalidade.
    • Dica prática: para elipse com b=3 os interceptos são (\pm\sqrt{3},0) e (0,\pm 1). Para a cúbica com a=1, por exemplo, passeie por pontos (1,1),(2,8) etc. Isso ajuda a posicioná-las corretamente ao esboçar.

Resposta

As famílias são trajetórias ortogonais: em cada ponto de interseção (não degenerado) as inclinações são m_{1}=\dfrac{3y}{x} e m_{2}=-\dfrac{x}{3y} e obedecem m_{1}m_{2}=-1.
Esboço: curvas y=ax^{3} são cúbicas ímpares passando por (0,0); curvas x^{2}+3y^{2}=b são elipses centradas na origem com semieixos \sqrt{b} (eixo x) e \sqrt{b/3} (eixo y); desenhe várias de cada família no mesmo eixo para visualizar as interseções perpendiculares.

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