Prove que todo domínio euclidiano é um domínio de ideais principais.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado um domínio euclidiano D, todo ideal Isubseteq D é gerado por um único elemento (isto é, D é um domínio de ideais principais).
Conteúdo da matéria: definição de domínio euclidiano e de ideal principal.
O que vamos precisar: a função euclidiana de<a que permite dividir com resto em D.

Passo 2

Se I=0, então I=(0) é claramente principal. Logo só precisamos tratar o caso Ineq0, quando existem elementos não nulos em I.

Passo 3

Como Ineq0, existe algum ain I com aneq0. Aplique a função de<a para escolher
din I, dneq0, de<a(d)=minde<a(x)mid xin I,;xneq0

Passo 4

Vamos provar que I=(d). Primeiro, como din I e I é ideal, qualquer múltiplo de d também está em I. Em símbolos,
(d);subseteq;I

Passo 5

Agora seja ain I um elemento genérico. Pela propriedade de divisão em D, existem q,rin D tais que
a = d,q + r, com r=0 ou de<a(r)<de<a(d)

Passo 6

Como d,qin I e ain I, segue que
r = a - d,q ;in; I
Se rneq0, então de<a(r)<de<a(d) com rin I, o que contradiz a minimalidade de de<a(d). Logo r=0 e a=d,q, ou seja, ain(d). Assim
I;subseteq;(d)

Resposta

Como (d)subseteq Isubseteq(d), concluímos I=(d). Portanto, todo domínio euclidiano é um domínio de ideais principais.

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