Prove que todo domínio euclidiano é um domínio de ideais principais.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dado um domínio euclidiano
, todo ideal
é gerado por um único elemento (isto é,
é um domínio de ideais principais).
Conteúdo da matéria: definição de domínio euclidiano e de ideal principal.
O que vamos precisar: a função euclidiana que permite dividir com resto em
.
Conteúdo da matéria: definição de domínio euclidiano e de ideal principal.
O que vamos precisar: a função euclidiana
Passo 2
Se
, então
é claramente principal. Logo só precisamos tratar o caso
, quando existem elementos não nulos em
.
Passo 3
Como
, existe algum
com
. Aplique a função
para escolher
Passo 4
Vamos provar que
. Primeiro, como
e
é ideal, qualquer múltiplo de
também está em
. Em símbolos,
Passo 5
Agora seja
um elemento genérico. Pela propriedade de divisão em
, existem
tais que
Passo 6
Como
e
, segue que
Se
, então
com
, o que contradiz a minimalidade de
. Logo
e
, ou seja,
. Assim
Resposta
Como
, concluímos
. Portanto, todo domínio euclidiano é um domínio de ideais principais.