Prove que
é irredutível em
. [Sugestão: Prove que
é irredutível usando o Critério de Eisenstein e depois use o exercício anterior]
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que a função
é irredutível em
, ou seja, que ela não pode ser decomposta em polinômios de menor grau com coeficientes racionais. Para resolver isso, vamos usar o Critério de Eisenstein aplicando uma mudança de variável
e depois relacionar isso com o exercício anterior que provavelmente trata da irreducibilidade de polinômios.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer a substituição
na função
. Isso significa substituir cada
por
na expressão de
:
Passo 3
Agora, vamos expandir
usando o binômio de Newton:
Então, substituindo de volta na expressão de
:
Passo 4
Agora temos
. Vamos aplicar o Critério de Eisenstein para verificar se este polinômio é irredutível sobre
.
O Critério de Eisenstein diz que se existe um número primo
que divide todos os coeficientes exceto o líder (aquele de maior grau), e
não divide o termo constante, então o polinômio é irredutível.
Passo 5
Vamos tentar encontrar um primo
que satisfaça as condições do Critério de Eisenstein para
:
- Coeficientes: 4, 6, 8, 6
- Termo líder: 1 (coeficiente de
), que não se importa com a divisibilidade pelo primo.
Observando os coeficientes 4, 6, 8, 6, vemos que todos são divisíveis por 2.
Além disso, o termo constante é 6, que também é divisível por
mas não por
.
Passo 6
Como todas as condições do Critério de Eisenstein são satisfeitas para
:
- 2 divide 4, 6, 8 e 6
- 2 não divide o coeficiente líder (1)
-
não divide o termo constante (6)
Portanto,
é irredutível em
.
Passo 7
Finalmente, sabemos que uma mudança de variável
preserva a irreducibilidade de um polinômio sobre
. Já provamos que
é irredutível, logo
também é irredutível em
.
Resposta
A função
é irredutível em
.