Prove que f(x)=x^4+4x+1 é irredutível em Q[x]. [Sugestão: Prove que f(x+1) é irredutível usando o Critério de Eisenstein e depois use o exercício anterior]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que a função f(x) = x^4 + 4x + 1 é irredutível em Q[x] , ou seja, que ela não pode ser decomposta em polinômios de menor grau com coeficientes racionais. Para resolver isso, vamos usar o Critério de Eisenstein aplicando uma mudança de variável f(x+1) e depois relacionar isso com o exercício anterior que provavelmente trata da irreducibilidade de polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a substituição x to x + 1 na função f(x) . Isso significa substituir cada x por x + 1 na expressão de f(x) :
f(x+1) = (x+1)^4 + 4(x+1) + 1

Passo 3

Agora, vamos expandir (x+1)^4 usando o binômio de Newton:
(x+1)^4 = x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1
Então, substituindo de volta na expressão de f(x+1) :
f(x+1) = x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1 + 4x + 4 + 1 = x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 8x + 6

Passo 4

Agora temos f(x+1) = x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 8x + 6 . Vamos aplicar o Critério de Eisenstein para verificar se este polinômio é irredutível sobre Q[x] .
O Critério de Eisenstein diz que se existe um número primo p que divide todos os coeficientes exceto o líder (aquele de maior grau), e p^2 não divide o termo constante, então o polinômio é irredutível.

Passo 5

Vamos tentar encontrar um primo p que satisfaça as condições do Critério de Eisenstein para f(x+1) :
  • Coeficientes: 4, 6, 8, 6
  • Termo líder: 1 (coeficiente de x^4 ), que não se importa com a divisibilidade pelo primo.
Observando os coeficientes 4, 6, 8, 6, vemos que todos são divisíveis por 2.
Além disso, o termo constante é 6, que também é divisível por 2^1 = 2 mas não por 2^2 = 4 .

Passo 6

Como todas as condições do Critério de Eisenstein são satisfeitas para p = 2 :
  • 2 divide 4, 6, 8 e 6
  • 2 não divide o coeficiente líder (1)
  • 2^2 = 4 não divide o termo constante (6)
Portanto, f(x+1) é irredutível em Q[x] .

Passo 7

Finalmente, sabemos que uma mudança de variável x to x + c preserva a irreducibilidade de um polinômio sobre Q[x] . Já provamos que f(x+1) é irredutível, logo f(x) também é irredutível em Q[x] .

Resposta

A função f(x) = x^4 + 4x + 1 é irredutível em Q[x] .

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