Defina ideal principal e domínio de ideais principais.
Passo 1
O enunciado pede para definirmos dois conceitos da teoria de anéis: o de ideal principal e o de domínio de ideais principais (PID). Vamos usar a noção de ideal gerado por elementos de um anel comutativo e unidade.
Passo 2
Um subconjunto
de um anel comutativo
com unidade é um ideal principal se existir um elemento
tal que
seja exatamente o conjunto de todos os múltiplos de
por elementos de
. Mais formalmente:
Passo 3
Um domínio de ideais principais (em inglês, principal ideal domain, PID) é um anel comutativo
, sem divisores de zero (ou seja, um domínio de integridade), em que todo ideal é principal. Isso significa que, para cada ideal
, existe
tal que
Resposta
Ideal principal: seja
um anel comutativo e unidade. Um ideal
é principal se existe
com
Domínio de ideais principais (PID): é um domínio de integridade
em que todo ideal é principal, isto é, para cada ideal
existe
tal que
.