Seja R anel comutativo com 1 \neq 0. Prove que se R contém um ideal primo que não contém divisores de zero, então R é domínio de integridade.

Passo 1

O enunciado nos dá um anel comutativo R com unidade e 1 \neq 0. Diz que existe um ideal primo P de R com a propriedade de que P não contém divisores de zero. O que se pede: provar que R é um domínio de integridade.
Listei as informações dadas:
  • R é um anel comutativo com 1 e 1 \neq 0.
  • Existe um ideal P\subseteq R tal que P é primo.
  • O ideal P não contém divisores de zero (isto é, se x\in P e x\neq 0 então x não é divisor de zero).
O objetivo final é: concluir que R é domínio de integridade (ou seja, mostrar que R não possui divisores de zero, além de já termos 1\neq0).

Passo 2

Vou recordar definições importantes — explicando de forma didática — para usar na prova.
  • Definição de divisor de zero: um elemento a\in R é divisor de zero se existe b\in R, b\neq 0, tal que ab=0. Repare que aqui só contamos como divisor de zero elementos não nulos que anulam algum outro não nulo.
  • Definição de ideal primo: um ideal P de R é primo se P é próprio (isto é, P\neq R) e, sempre que ab\in P, então a\in P ou b\in P. Essa propriedade é a que vamos usar diretamente.
  • Definição de domínio de integridade: um anel comutativo com 1\neq 0 é domínio de integridade quando não existem divisores de zero não nulos; isto é, se ab=0 então a=0 ou b=0.
Essas definições são simples e essenciais. A ideia heurística do que faremos: se existissem a,b\neq0 com ab=0, então qualquer ideal primo teria de conter pelo menos um desses elementos (porque 0=ab\in P e P é primo), e assim todo ideal primo conteria um divisor de zero. Como por hipótese existe um ideal primo que não contém divisores de zero, isso geraria contradição. Vamos formalizar.

Passo 3

Prova por contradição simples e direta.
Suponha, para obter contradição, que R não seja domínio de integridade. Então existem elementos a,b\in R com a\neq 0, b\neq 0 e
ab=0.
Esses a e b são, por definição, divisores de zero (cada um anula o outro).

Passo 4

Use a primalidade do ideal P.
Como ab=0, temos ab\in P (pois 0\in P sempre). Pela propriedade de que P é primo, a inclusão ab\in P implica que a\in P ou b\in P.
Logo, qualquer ideal primo de R contém pelo menos um dos elementos a ou b. Em particular, o ideal primo dado P conteria um desses elementos não nulos, e esse elemento é um divisor de zero (porque multiplica o outro não-nulo e dá zero).
Isto contradiz exatamente a hipótese de que P não contém divisores de zero.

Passo 5

Concluímos a contradição e removemos a hipótese inicial.
Como a suposição de que existem a,b\neq 0 com ab=0 levou a uma contradição com a existência do ideal primo P que não contém divisores de zero, essa suposição é falsa. Portanto não existem a,b\neq0 com ab=0; isto é, R não tem divisores de zero não nulos.

Passo 6

Uso final da hipótese 1\neq 0 e conclusão lógica.
Já foi dado que 1\neq 0. Juntando isso com o fato agora provado de que R não possui divisores de zero não nulos, segue que R satisfaz todas as condições para ser um domínio de integridade.

Resposta

R é domínio de integridade.

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