Seja
anel comutativo com
. Prove que se
contém um ideal primo que não contém divisores de zero, então
é domínio de integridade.
Passo 1
O enunciado nos dá um anel comutativo
com unidade e
. Diz que existe um ideal primo
de
com a propriedade de que
não contém divisores de zero. O que se pede: provar que
é um domínio de integridade.
Listei as informações dadas:
-
é um anel comutativo com e . - Existe um ideal
tal que é primo. - O ideal
não contém divisores de zero (isto é, se e então não é divisor de zero).
O objetivo final é: concluir que
é domínio de integridade (ou seja, mostrar que
não possui divisores de zero, além de já termos
).
Passo 2
Vou recordar definições importantes — explicando de forma didática — para usar na prova.
-
Definição de divisor de zero: um elemento
é divisor de zero se existe , , tal que . Repare que aqui só contamos como divisor de zero elementos não nulos que anulam algum outro não nulo. -
Definição de ideal primo: um ideal
de é primo se é próprio (isto é, ) e, sempre que , então ou . Essa propriedade é a que vamos usar diretamente. -
Definição de domínio de integridade: um anel comutativo com
é domínio de integridade quando não existem divisores de zero não nulos; isto é, se então ou .
Essas definições são simples e essenciais. A ideia heurística do que faremos: se existissem
com
, então qualquer ideal primo teria de conter pelo menos um desses elementos (porque
e
é primo), e assim todo ideal primo conteria um divisor de zero. Como por hipótese existe um ideal primo que não contém divisores de zero, isso geraria contradição. Vamos formalizar.
Passo 3
Prova por contradição simples e direta.
Suponha, para obter contradição, que
não seja domínio de integridade. Então existem elementos
com
,
e
Esses
e
são, por definição, divisores de zero (cada um anula o outro).
Passo 4
Use a primalidade do ideal
.
Como
, temos
(pois
sempre). Pela propriedade de que
é primo, a inclusão
implica que
ou
.
Logo, qualquer ideal primo de
contém pelo menos um dos elementos
ou
. Em particular, o ideal primo dado
conteria um desses elementos não nulos, e esse elemento é um divisor de zero (porque multiplica o outro não-nulo e dá zero).
Isto contradiz exatamente a hipótese de que
não contém divisores de zero.
Passo 5
Concluímos a contradição e removemos a hipótese inicial.
Como a suposição de que existem
com
levou a uma contradição com a existência do ideal primo
que não contém divisores de zero, essa suposição é falsa. Portanto não existem
com
; isto é,
não tem divisores de zero não nulos.
Passo 6
Uso final da hipótese
e conclusão lógica.
Já foi dado que
. Juntando isso com o fato agora provado de que
não possui divisores de zero não nulos, segue que
satisfaz todas as condições para ser um domínio de integridade.