Prove que, para todo número natural
e todo inteiro
entre 0 e
, temos
Passo 1
O enunciado pede para provar que, para todo inteiro
e todo inteiro
com
, vale
O conteúdo envolve a definição de coeficiente binomial via fatoriais e também um argumento combinatorial de contagem de subconjuntos.
Passo 2
Pela definição de coeficiente binomial em termos de fatoriais, temos
e
Passo 3
Comparando as duas expressões em bloco, vemos que são idênticas:
Logo, do ponto de vista algébrico,
Passo 4
Para reforçar com uma interpretação combinatorial, note que escolher um subconjunto de tamanho
do conjunto
é equivalente a escolher quais
elementos não entram nesse subconjunto. Esse complemento estabelece uma bijeção entre o conjunto de todas as escolhas de
elementos e o conjunto de todas as escolhas de
elementos, mostrando que há o mesmo número de cada um: