Prove que, para todo número natural n e todo inteiro r entre 0 e n, temos
\binom{n}{r}=\binom{n}{n-r} .

Passo 1

O enunciado pede para provar que, para todo inteiro n\ge0 e todo inteiro r com 0\le r\le n, vale
\binom{n}{r} \;=\;\binom{n}{\,n-r\,}.
O conteúdo envolve a definição de coeficiente binomial via fatoriais e também um argumento combinatorial de contagem de subconjuntos.

Passo 2

Pela definição de coeficiente binomial em termos de fatoriais, temos
\binom{n}{r} =\frac{n!}{r!\,(n-r)!}
e
\binom{n}{\,n-r\,} =\frac{n!}{(n-r)!\,\bigl(n-(n-r)\bigr)!} =\frac{n!}{(n-r)!\,r!}.

Passo 3

Comparando as duas expressões em bloco, vemos que são idênticas:
\frac{n!}{r!\,(n-r)!} \;=\; \frac{n!}{(n-r)!\,r!}.
Logo, do ponto de vista algébrico,
\binom{n}{r}=\binom{n}{\,n-r\,}.

Passo 4

Para reforçar com uma interpretação combinatorial, note que escolher um subconjunto de tamanho r do conjunto \{1,2,\dots,n\} é equivalente a escolher quais n-r elementos não entram nesse subconjunto. Esse complemento estabelece uma bijeção entre o conjunto de todas as escolhas de r elementos e o conjunto de todas as escolhas de n-r elementos, mostrando que há o mesmo número de cada um:
\bigl\{\text{r-subconjuntos}\bigr\} \;\longleftrightarrow\; \bigl\{\,(n-r)\text{-subconjuntos}\bigr\}.

Resposta

\displaystyle \binom{n}{r}=\binom{n}{\,n-r\,}.

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