Em cada item determine o volume dos sólidos obtidos ao rotacionar as regiões pela reta especificada. Deixe claro o método que utilizado.
(b) y=3 x-x^{2}, y=x^{2}-3 x pelo eixo y.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas
y = 3x - x^2
e
y = x^2 - 3x
em torno do eixo y.
O conteúdo aqui é cálculo de volume por rotação de sólidos e vamos usar o método das cascas cilíndricas, pois o eixo de rotação é vertical e as funções estão em forma y=f(x).

Passo 2

Primeiro, encontramos os pontos de interseção das curvas resolvendo
3x - x^2 = x^2 - 3x.
Isso leva a
-2x^2 + 6x = 0 \quad\Longrightarrow\quad x(-2x + 6)=0 \quad\Longrightarrow\quad x=0 \quad\text{ou}\quad x=3.
Num valor intermediário, por exemplo x=1, temos
3\cdot1-1^2=2 > 1^2-3\cdot1=-2,
logo em [0,3] a curva superior é y_{\text{sup}}=3x-x^2 e a inferior é y_{\text{inf}}=x^2-3x.

Passo 3

No método das cascas cilíndricas, para cada x\in[0,3]:
  • o raio da casca é r=x (distância ao eixo y),
  • a altura é
h(x)=y_{\text{sup}}-y_{\text{inf}} =(3x - x^2)-(x^2 - 3x) =6x-2x^2,
  • a espessura é dx.
A contribuição de volume de cada casca é
dV = 2\pi\,r\,h(x)\,dx =2\pi\,x\,(6x-2x^2)\,dx.
Portanto o volume total é
V = 2\pi \int_{0}^{3} x\,(6x-2x^2)\,dx.

Passo 4

Calculamos o integrando:
x\,(6x-2x^2)=6x^2-2x^3.
Assim
V = 2\pi \int_{0}^{3} \bigl(6x^2-2x^3\bigr)\,dx =2\pi\Bigl[\;2x^3-\tfrac12x^4\Bigr]_{0}^{3} =2\pi\Bigl(2\cdot27-\tfrac12\cdot81\Bigr) =2\pi\bigl(54-40,5\bigr) =2\pi\cdot13,5 =27\pi.

Resposta

O volume do sólido gerado é 27\pi unidades cúbicas.

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