De quantas maneiras é possível escolher dez pessoas de um grupo com 30 homens e 30 mulheres, se o grupo deve incluir pelo menos uma mulher?

Passo 1

O enunciado pede para escolhermos dez pessoas de um conjunto com 30 homens e 30 mulheres, de modo que tenhamos pelo menos uma mulher no grupo. Este é um problema de combinações sem repetição, onde vamos usar o princípio do complemento para contar as escolhas com restrição “pelo menos uma mulher”.

Passo 2

Primeiro, contamos todas as maneiras de escolher dez pessoas sem qualquer restrição. Como há no total 30+30=60 pessoas, o número de maneiras é
\binom{60}{10}.

Passo 3

Em seguida, contamos quantas escolhas não atendem à restrição, ou seja, as seleções que contêm zero mulheres. Nesse caso, estamos escolhendo todas as dez pessoas apenas entre os 30 homens, o que pode ser feito de
\binom{30}{10}
maneiras.

Passo 4

Pelo princípio do complemento, o número de escolhas com pelo menos uma mulher é a quantidade total menos as escolhas sem mulheres. Logo,
\binom{60}{10} \;-\;\binom{30}{10}.

Resposta

\binom{60}{10} \;-\;\binom{30}{10}.

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