Determine a base b do sistema no qual 73 se escreve (243)b.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a base b do sistema de numeração posicional em que o número decimal 73 é representado como (243)b. Vamos usar a fórmula da representação posicional: cada dígito multiplicado por uma potência de b.

Passo 2

Escrevemos o valor de (243)b em decimal: 2b^2 + 4b + 3.
Igualamos essa expressão a 73 e montamos a equação
2b^2 + 4b + 3 = 73.

Passo 3

Subtraindo 73 de ambos os lados, obtemos
2b^2 + 4b - 70 = 0. Dividindo por 2 para simplificar, vem
b^2 + 2b - 35 = 0.

Passo 4

Aplicando a fórmula de Bhaskara em b^2 + 2b - 35 = 0, temos
b = -2 pm raiz2^2 - 4 cdot 1 cdot (-35)2 = -2 pm raiz1442, o que resulta em b = 5 ou b = -7.

Passo 5

Como a base de um sistema de numeração deve ser um inteiro maior que qualquer dígito (aqui o maior dígito é 4) e positiva, descartamos b = -7 e ficamos com b = 5.

Resposta

5

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