Sejam f: A B e g: B C funções.
Verdadeiro ou falso: se f e g são sobrejetoras, então g circ f é sobrejetora.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz o seguinte: temos duas funções
g circ f: A to C e , ambas são sobrejetoras (ou “suru” para a galera mais íntima). A pergunta é: será que a composição
também é sobrejetora?
Conteúdo: funções, definição de sobrejeção e composição de funções. Vamos precisar lembrar direitinho o que significa cada termo.

Passo 2

Definição de sobrejetora (ou “suru”):
Uma função h(x) = y é sobrejetora se, para todo elemento , existe pelo menos um tal que
Ou seja, todo “alvo” em é atingido por algum “disparo” vindo de .

Passo 3

Agora aplica isso em g(b) = c e f(a) = b .
  1. Como (g circ f)(a) ;=; gl(f(a)r) ;=; g(b) ;=; c é sobrejetora, para cada existe algum tal que
  1. Como é sobrejetora, para esse mesmo existe algum com
Juntando:
Ou seja, para qualquer a gente conseguiu achar um que manda em . Exatamente a definição de sobrejeção para .

Passo 4

Então a composição é sobrejetora porque, passando primeiro por e depois por , a gente garante que todo elemento em tem um “antecessor” em . Molezinha!

Resposta

Verdadeiro.

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