Prove que todo vetor v pertencente ao R3 pode ser escrito como combinação linear dos vetores
e
.
Passo 1
O enunciado pede que comprovemos que todo vetor
pertencente a
pode ser escrito como combinação linear dos vetores
,
e
.
Informações dadas:
,
,
e
é um vetor arbitrário (ou seja,
tem três componentes reais).
Informações dadas:
Passo 2
Vou lembrar o que significa “combinação linear” de vetores de um jeito bem direto: dizer que
é combinação linear de
significa que existem escalares
tais que
Aqui a operação
é multiplicação de escalar por vetor e
é soma de vetores. Explico como essas operações funcionam em
: se
e
, então
e se
então
Ou seja, tudo é feito componente a componente — isso é fundamental e facilita muito as contas.
Passo 3
Como
é arbitrário, podemos escrever suas componentes (pela própria definição de
) como
onde
.
Passo 4
Calculo agora a combinação linear genérica
usando a regra componente a componente:
Aplicando a multiplicação escalar e a soma de vetores componente a componente,
portanto
Passo 5
Para que a combinação
seja igual ao vetor
basta escolher os escalares exatamente iguais às componentes de
, ou seja
Com essa escolha obtemos
Pronto — mostramos que, dado qualquer
, existem
(explicitamente
) que escrevem
como combinação linear de
.
Passo 6
Rápido comentário extra (útil na prova): essa escrita é única. Se
, então subtraindo os dois lados obtemos
o que força
,
,
, logo
,
,
. Isso é bom de saber porque garante que as componentes determinam os escalares de forma única.
Passo 7
Exemplo super simples para fixar: se
, então
Use esse tipo de exemplo na prova se quiser mostrar um caso concreto.