Prove que todo vetor v pertencente ao R3 pode ser escrito como combinação linear dos vetores i=(1,0,0), j=(0,1,0) e k=(0,0,1).

Passo 1

O enunciado pede que comprovemos que todo vetor v pertencente a \mathbb{R}^3 pode ser escrito como combinação linear dos vetores i=(1,0,0), j=(0,1,0) e k=(0,0,1).
Informações dadas:
i=(1,0,0), j=(0,1,0), k=(0,0,1) e v\in\mathbb{R}^3 é um vetor arbitrário (ou seja, v tem três componentes reais).

Passo 2

Vou lembrar o que significa “combinação linear” de vetores de um jeito bem direto: dizer que v é combinação linear de i,j,k significa que existem escalares a,b,c\in\mathbb{R} tais que
v = a\,i + b\,j + c\,k.
Aqui a operação a\,i é multiplicação de escalar por vetor e + é soma de vetores. Explico como essas operações funcionam em \mathbb{R}^3: se u=(u_1,u_2,u_3) e w=(w_1,w_2,w_3), então
u+w=(u_1+w_1,\;u_2+w_2,\;u_3+w_3)
e se \lambda\in\mathbb{R} então
\lambda u=(\lambda u_1,\;\lambda u_2,\;\lambda u_3).
Ou seja, tudo é feito componente a componente — isso é fundamental e facilita muito as contas.

Passo 3

Como v\in\mathbb{R}^3 é arbitrário, podemos escrever suas componentes (pela própria definição de \mathbb{R}^3) como
v = (v_1,v_2,v_3)
onde v_1,v_2,v_3\in\mathbb{R}.

Passo 4

Calculo agora a combinação linear genérica a\,i + b\,j + c\,k usando a regra componente a componente:
a\,i + b\,j + c\,k = a(1,0,0) + b(0,1,0) + c(0,0,1).
Aplicando a multiplicação escalar e a soma de vetores componente a componente,
a(1,0,0) = (a,0,0),\qquad b(0,1,0) = (0,b,0),\qquad c(0,0,1) = (0,0,c),
portanto
a\,i + b\,j + c\,k = (a,0,0) + (0,b,0) + (0,0,c) = (a,b,c).

Passo 5

Para que a combinação (a,b,c) seja igual ao vetor v=(v_1,v_2,v_3) basta escolher os escalares exatamente iguais às componentes de v, ou seja
a = v_1,\qquad b = v_2,\qquad c = v_3.
Com essa escolha obtemos
v = (v_1,v_2,v_3) = v_1\,i + v_2\,j + v_3\,k.
Pronto — mostramos que, dado qualquer v\in\mathbb{R}^3, existem a,b,c (explicitamente a=v_1,b=v_2,c=v_3) que escrevem v como combinação linear de i,j,k.

Passo 6

Rápido comentário extra (útil na prova): essa escrita é única. Se v = a\,i+b\,j+c\,k = \alpha\,i+\beta\,j+\gamma\,k, então subtraindo os dois lados obtemos
0 = (a-\alpha)\,i + (b-\beta)\,j + (c-\gamma)\,k = (a-\alpha,\;b-\beta,\;c-\gamma),
o que força a-\alpha=0, b-\beta=0, c-\gamma=0, logo a=\alpha, b=\beta, c=\gamma. Isso é bom de saber porque garante que as componentes determinam os escalares de forma única.

Passo 7

Exemplo super simples para fixar: se v=(2,-1,3), então
v = 2\,i + (-1)\,j + 3\,k = 2i - j + 3k.
Use esse tipo de exemplo na prova se quiser mostrar um caso concreto.

Resposta

v=(v_1,v_2,v_3)=v_1\,i+v_2\,j+v_3\,k

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