Os conjunto de vetores v1 = (1,2, -1) v2 = (1, -2,1), v3 =( -3,2 1) e v4 = (
) é um conjunto LI?
Passo 1
O enunciado pergunta se o conjunto de vetores
,
,
e
é um conjunto linearmente independente (LI) ou não.
Informações dadas: os quatro vetores listados acima (cada vetor em ).
Pergunta a responder: “O conjunto é LI?”
Informações dadas: os quatro vetores listados acima (cada vetor em
Pergunta a responder: “O conjunto
Passo 2
Definição (explicada passo a passo): um conjunto de vetores
é linearmente independente quando a única solução do sistema
é
. Aqui
é o vetor nulo. Se existir uma solução com pelo menos um coeficiente
, então o conjunto é linearmente dependente. Isto significa que algum vetor do conjunto pode ser escrito como combinação linear dos outros. Vou sempre escrever combinações lineares assim para ficar claro o que significa.
Passo 3
Teorema útil (intuição e uso prático): em
não existem mais do que
vetores linearmente independentes. Ou seja, qualquer conjunto com mais de
vetores em
é automaticamente linearmente dependente. No nosso caso estamos em
(cada vetor tem 3 coordenadas) e temos
vetores. Então, por essa razão geral, o conjunto já é dependente. Vou mostrar também de maneira construtiva uma combinação não-trivial que zera, porque isso é o que normalmente pedem na prova: encontrar explicitamente os coeficientes.
Passo 4
Procuro relações simples entre as coordenadas dos vetores dados. Vou somar
e
componente a componente:
Somando cada componente:
Portanto
Passo 5
Comparo com
, que dado no enunciado é
. Observando o passo anterior, vejo que
Reescrevendo como combinação linear que dá o vetor nulo:
Isto fornece coeficientes não todos nulos (
para
,
para
,
para
,
para
) que anulam a combinação linear. Assim encontramos explicitamente uma relação de dependência linear.
Passo 6
Interpretação final e reforço didático: como existe uma combinação linear não-trivial que resulta no vetor nulo, pelo próprio significado de dependência linear o conjunto
é linearmente dependente. Um exemplo simples análogo para fixar a ideia: em
os vetores
também são dependentes porque
. Isso ajuda a ver a mesma estrutura que encontrámos aqui (dois vetores somando outro).
Resposta
Não, o conjunto é linearmente dependente.