Os conjunto de vetores v1 = (1,2, -1) v2 = (1, -2,1), v3 =( -3,2 1) e v4 = ( 2,0,0 ) é um conjunto LI?

Passo 1

O enunciado pergunta se o conjunto de vetores v_1=(1,2,-1), v_2=(1,-2,1), v_3=(-3,2,1) e v_4=(2,0,0) é um conjunto linearmente independente (LI) ou não.
Informações dadas: os quatro vetores listados acima (cada vetor em \mathbb{R}^3).
Pergunta a responder: “O conjunto \{v_1,v_2,v_3,v_4\} é LI?”

Passo 2

Definição (explicada passo a passo): um conjunto de vetores \{v_1,\dots,v_k\} é linearmente independente quando a única solução do sistema
c_1 v_1 + c_2 v_2 + \cdots + c_k v_k = \mathbf{0}
é c_1=c_2=\cdots=c_k=0. Aqui \mathbf{0} é o vetor nulo. Se existir uma solução com pelo menos um coeficiente c_i\neq 0, então o conjunto é linearmente dependente. Isto significa que algum vetor do conjunto pode ser escrito como combinação linear dos outros. Vou sempre escrever combinações lineares assim para ficar claro o que significa.

Passo 3

Teorema útil (intuição e uso prático): em \mathbb{R}^n não existem mais do que n vetores linearmente independentes. Ou seja, qualquer conjunto com mais de n vetores em \mathbb{R}^n é automaticamente linearmente dependente. No nosso caso estamos em \mathbb{R}^3 (cada vetor tem 3 coordenadas) e temos 4 vetores. Então, por essa razão geral, o conjunto já é dependente. Vou mostrar também de maneira construtiva uma combinação não-trivial que zera, porque isso é o que normalmente pedem na prova: encontrar explicitamente os coeficientes.

Passo 4

Procuro relações simples entre as coordenadas dos vetores dados. Vou somar v_1 e v_2 componente a componente:
v_1+v_2 = (1,2,-1) + (1,-2,1).
Somando cada componente:
\text{primeira componente: }1+1=2,
\text{segunda componente: }2+(-2)=0,
\text{terceira componente: }-1+1=0.
Portanto
v_1+v_2=(2,0,0).

Passo 5

Comparo com v_4, que dado no enunciado é v_4=(2,0,0). Observando o passo anterior, vejo que
v_1+v_2 = v_4.
Reescrevendo como combinação linear que dá o vetor nulo:
v_1 + v_2 - v_4 = \mathbf{0}.
Isto fornece coeficientes não todos nulos ( 1 para v_1, 1 para v_2, 0 para v_3, -1 para v_4) que anulam a combinação linear. Assim encontramos explicitamente uma relação de dependência linear.

Passo 6

Interpretação final e reforço didático: como existe uma combinação linear não-trivial que resulta no vetor nulo, pelo próprio significado de dependência linear o conjunto \{v_1,v_2,v_3,v_4\} é linearmente dependente. Um exemplo simples análogo para fixar a ideia: em \mathbb{R}^2 os vetores (1,0),(0,1),(1,1) também são dependentes porque (1,0)+(0,1)-(1,1)=\mathbf{0}. Isso ajuda a ver a mesma estrutura que encontrámos aqui (dois vetores somando outro).

Resposta

Não, o conjunto é linearmente dependente.

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