Os vetores v1 = (-2,-2,2) v2 = ( -3,3/2,0) e v3 = ( -2,1,0) é um conjunto LI?
Passo 1
O enunciado pergunta se o conjunto formado pelos vetores
,
e
é linearmente independente (LI) ou não.
Informações dadas:
Informações dadas:
Passo 2
Definição importante (explicadinha): vetores são linearmente independentes se a única combinação linear que dá o vetor zero é a combinação trivial — ou seja, se a equação
só tem a solução
. Se existir alguma solução com pelo menos um coeficiente diferente de zero, então os vetores são linearmente dependentes. Vamos usar exatamente essa ideia.
Passo 3
Escrevo a combinação linear componente a componente. Se
, então
Essas são três equações lineares nas incógnitas
.
Passo 4
Analiso a terceira equação porque ela é direta:
Ou seja, qualquer relação linear entre esses vetores obrigatoriamente tem
. Com isso, as duas primeiras equações ficam apenas em
e
.
Passo 5
Substituo
nas duas primeiras equações e resolvo para
:
primeira equação:
primeira equação:
segunda equação:
Agora substituo
na segunda:
que é satisfeita para qualquer
. Isso significa que existe uma família de soluções com
e
proporcional a
— em particular há soluções não-triviais (com
).
Passo 6
Vou escolher uma solução concreta para ver a relação explicitamente: tomo
. Então
Isso dá a combinação não-trivial
ou seja,
Reescrevendo,
. Esse é um jeito bem direto de ver a dependência:
é múltiplo escalar de
, então eles já formam um par linearmente dependente, e com isso o conjunto de três vetores também é linearmente dependente.
Resposta
Não. Os vetores são linearmente dependentes, pois
(equivalentemente,
).