Os vetores v1 = (-2,-2,2) v2 = ( -3,3/2,0) e v3 = ( -2,1,0) é um conjunto LI?

Passo 1

O enunciado pergunta se o conjunto formado pelos vetores v_1 = (-2,-2,2), v_2 = \left(-3,\tfrac{3}{2},0\right) e v_3 = (-2,1,0) é linearmente independente (LI) ou não.
Informações dadas:
v_1 = (-2,-2,2),\qquad v_2 = \left(-3,\tfrac{3}{2},0\right),\qquad v_3 = (-2,1,0).

Passo 2

Definição importante (explicadinha): vetores são linearmente independentes se a única combinação linear que dá o vetor zero é a combinação trivial — ou seja, se a equação
\alpha v_1+\beta v_2+\gamma v_3 = (0,0,0)
só tem a solução \alpha=\beta=\gamma=0. Se existir alguma solução com pelo menos um coeficiente diferente de zero, então os vetores são linearmente dependentes. Vamos usar exatamente essa ideia.

Passo 3

Escrevo a combinação linear componente a componente. Se \alpha v_1+\beta v_2+\gamma v_3=(0,0,0), então
\alpha(-2)+\beta(-3)+\gamma(-2)=0,
\alpha(-2)+\beta\left(\tfrac{3}{2}\right)+\gamma(1)=0,
\alpha(2)+\beta(0)+\gamma(0)=0.
Essas são três equações lineares nas incógnitas \alpha,\beta,\gamma.

Passo 4

Analiso a terceira equação porque ela é direta:
2\alpha + 0\beta + 0\gamma = 0 \implies 2\alpha = 0 \implies \alpha = 0.
Ou seja, qualquer relação linear entre esses vetores obrigatoriamente tem \alpha=0. Com isso, as duas primeiras equações ficam apenas em \beta e \gamma.

Passo 5

Substituo \alpha=0 nas duas primeiras equações e resolvo para \beta,\gamma:
primeira equação:
-3\beta -2\gamma = 0 \quad\Rightarrow\quad -3\beta = 2\gamma \quad\Rightarrow\quad \beta = -\tfrac{2}{3}\gamma.
segunda equação:
\tfrac{3}{2}\beta + \gamma = 0.
Agora substituo \beta = -\tfrac{2}{3}\gamma na segunda:
\tfrac{3}{2}\left(-\tfrac{2}{3}\gamma\right) + \gamma = -\gamma + \gamma = 0,
que é satisfeita para qualquer \gamma. Isso significa que existe uma família de soluções com \alpha=0 e \beta proporcional a \gamma — em particular há soluções não-triviais (com \gamma\neq0).

Passo 6

Vou escolher uma solução concreta para ver a relação explicitamente: tomo \gamma=3. Então
\beta = -\tfrac{2}{3}\cdot 3 = -2,\qquad \alpha=0.
Isso dá a combinação não-trivial
0\cdot v_1 + (-2)\,v_2 + 3\,v_3 = 0,
ou seja,
-2v_2 + 3v_3 = 0.
Reescrevendo, v_2 = \tfrac{3}{2}v_3. Esse é um jeito bem direto de ver a dependência: v_2 é múltiplo escalar de v_3, então eles já formam um par linearmente dependente, e com isso o conjunto de três vetores também é linearmente dependente.

Resposta

Não. Os vetores são linearmente dependentes, pois v_2=\tfrac{3}{2}v_3 (equivalentemente, -2v_2+3v_3=0).

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