É possível escrever vetor 0 como combinação linear de todos os vetores v1, v2, …, vk do Rn? Como?

Passo 1

O enunciado pergunta se é possível escrever o vetor zero como combinação linear dos vetores \(v_1, v_2, \dots, v_k) em \(\mathbb{R}^n), e pede também “como” fazer isso.
Informações dadas: temos k vetores \(v_1,\dots,v_k) em \(\mathbb{R}^n).
Perguntas a responder: (1) existe sempre alguma combinação linear que dá o vetor zero? (2) quando existe uma combinação não-trivial (isto é, com coeficientes nem todos zero)? (3) como encontrar esses coeficientes na prática?

Passo 2

Definição importante: dizer que \(w) é combinação linear de \(v_1,\dots,v_k) significa que existem escalares \(a_1,\dots,a_k) tais que
w = a_1 v_1 + a_2 v_2 + \cdots + a_k v_k.
Aplicando essa definição ao vetor zero, procuramos escalares \(a_1,\dots,a_k) tais que
0 = a_1 v_1 + a_2 v_2 + \cdots + a_k v_k.

Passo 3

Existência trivial: sempre — existe uma combinação linear que produz o vetor zero: basta tomar todos os coeficientes iguais a zero. Ou seja,
0 = 0\cdot v_1 + 0\cdot v_2 + \cdots + 0\cdot v_k.
Essa é a combinação chamada trivial. Então a resposta “é possível?” já tem um “sim” imediato por essa combinação.

Passo 4

Combinação não-trivial e dependência linear: dizemos que \(v_1,\dots,v_k) são linearmente dependentes se existem escalares \(a_1,\dots,a_k), nem todos zero, tais que
a_1 v_1 + \cdots + a_k v_k = 0.
Se tais escalares só existem todos zero, os vetores são linearmente independentes. Portanto:
  • Existe combinação não-trivial que dá zero se, e somente se, os vetores são linearmente dependentes.
  • Se os vetores são linearmente independentes, a única forma de escrever zero é a combinação trivial (todos coeficientes zero).

Passo 5

Como determinar na prática se existe combinação não-trivial? Método padrão: montar o sistema linear homogêneo
A x = 0,
onde A é a matriz n\times k cujas colunas são v_1,\dots,v_k, e x=(a_1,\dots,a_k)^\top é o vetor coluna dos coeficientes. Resolver A x=0 por eliminação de Gauss. Explicando passo a passo a ideia prática:
  1. Forme a matriz aumentada (aqui só A porque o lado direito é zero).
  2. Aplique operações de linha para levar A à forma escalonada reduzida por linhas.
  3. Leia as incógnitas livres (se houver). As incógnitas livres correspondem a graus de liberdade; dar valores não-nulos a elas produz soluções não-triviais.
  4. Se ao final todas as variáveis são pivotais (nenhuma livre), a única solução é a trivial; caso contrário, existem soluções não-triviais que você pode escrever explicitamente.

Passo 6

Observação prática e resultado rápido: se k>n (mais vetores que a dimensão do espaço), então os vetores são necessariamente linearmente dependentes, e existe sempre uma combinação não-trivial. Explicação curta: a matriz A é n\times k; o número de pivôs máximos é n, então com k>n haverá pelo menos k-n variáveis livres e, portanto, soluções não-triviais de A x=0.

Passo 7

Exemplo numérico para fixar — achar combinação não-trivial em \mathbb{R}^2: sejam
v_1 = \begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix},\qquad v_2 = \begin{pmatrix}2\\\ 0\end{pmatrix},\qquad v_3 = \begin{pmatrix}0\\\ 1\end{pmatrix}.
Matriz A com estas colunas:
A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 1\end{pmatrix}.
Resolvendo A x=0, ou seja
\begin{pmatrix}1 & 2 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a_1\\\ a_2\\\ a_3\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix},
das equações obtemos
a_1 + 2a_2 = 0,\qquad a_3 = 0.
Escolhendo a_2=1 (variável livre), temos a_1=-2 e a_3=0. Logo uma combinação não-trivial que dá zero é
-2v_1 + 1\cdot v_2 + 0\cdot v_3 = 0.
Isso confirma o método prático: resolver A x=0 e escolher valores para as variáveis livres.]

Passo 8

Exemplo de conjunto independente em \mathbb{R}^2: v_1=(1,0)^\top e v_2=(0,1)^\top. Resolver
a_1 v_1 + a_2 v_2 = 0
dá o sistema a_1=0,\\ a_2=0. Só existe a combinação trivial — então não há combinação não-trivial que dê zero.

Passo 9

Resumo prático para a prova (passos que você pode aplicar rápido):
  1. Se o enunciado tem k>n, responda imediatamente que existe combinação não-trivial (por dependência automática). Você pode até exibir um procedimento para encontrá-la via eliminação.
  2. Se k\le n, monte a matriz A com colunas v_i e resolva A x=0 por eliminação de Gauss. Se aparecerem variáveis livres, escolha valores para elas para construir uma solução não-trivial; caso contrário a única solução é a trivial.
  3. Sempre que quiser apenas mostrar que é possível escrever zero, a combinação trivial com todos coeficientes nulos serve.

Resposta

Sim — sempre é possível: trivialmente
0 = 0\cdot v_1 + 0\cdot v_2 + \cdots + 0\cdot v_k.
Existe combinação não-trivial (coeficientes nem todos zero) se, e somente se, os vetores \(v_1,\dots,v_k) são linearmente dependentes; na prática determine isso resolvendo
A x = 0,
onde A é a matriz cujas colunas são v_1,\dots,v_k. Se k>n então sempre existe combinação não-trivial.

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