Prove que para todos
e
vale que:
e
.
Passo 1
O que o enunciado pede: provar, para todo
, as duas identidades
e
Informações dadas: os símbolos
e
aparecem no enunciado, mas as identidades a provar usam apenas
. Vou usar apenas a variável
. Não começarei a resolver ainda, apenas deixei claro o que é pedido.
Passo 2
Definição que usaremos (explicada passo a passo): para todo
definimos as funções trigonométricas complexas por meio das exponenciais complexas:
O que isso significa: a exponenciação
está bem definida para
e vale a mesma regra de potências
para números complexos
. Além disso, para ângulos reais vale a fórmula de Euler
; em particular,
e portanto também
Esses valores de
serão usados nas substituições a seguir. (Se algo disso é novo, pense: definimos seno e cosseno por séries ou por exponenciais; ambas as definições coincidem e funcionam para
complexo.)
Passo 3
Provar
fazendo as substituições a partir das definições. Começamos escrevendo o cosseno em termos de exponenciais:
Usamos a propriedade
para separar o fator envolvendo
:
Agora substituímos
e
:
Fatoramos um
dentro do parêntese para reescrever:
Agora lembramos a forma de
:
Compare com a expressão acima; multiplicando numerador e denominador de
por
dá exatamente a forma encontrada:
Portanto
Passo 4
Provar
de maneira análoga. Escrevemos o seno em termos de exponenciais:
Separamos os fatores com
:
Substituindo
e
:
Cancelamos o fator
(não zero) no numerador e denominador:
que é exatamente a definição de
. Logo
Passo 5
Resumo e interpretação rápida (ânimo!): mostramos as duas identidades apenas usando as definições por exponenciais complexas e a propriedade
, além do valor de
. As contas não usam que
seja real, por isso as identidades valem para todo
. Isso é bom: as relações trigonométricas clássicas estendem-se naturalmente ao plano complexo.