Prove que para todos z, z_{1}, z_{2} \in \mathbb{C} e x, y \in \mathbb{R} vale que:
\operatorname{sen}(z)=\cos \left(\frac{\pi}{2}-z\right) e \cos (z)=\operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2}-z\right).

Passo 1

O que o enunciado pede: provar, para todo z\in\mathbb{C}, as duas identidades
\operatorname{sen}(z)=\cos\!\left(\frac{\pi}{2}-z\right)
e
\cos(z)=\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{2}-z\right).
Informações dadas: os símbolos z,z_{1},z_{2}\in\mathbb{C} e x,y\in\mathbb{R} aparecem no enunciado, mas as identidades a provar usam apenas z\in\mathbb{C}. Vou usar apenas a variável z. Não começarei a resolver ainda, apenas deixei claro o que é pedido.

Passo 2

Definição que usaremos (explicada passo a passo): para todo w\in\mathbb{C} definimos as funções trigonométricas complexas por meio das exponenciais complexas:
\operatorname{sen}(w)=\frac{e^{iw}-e^{-iw}}{2i}, \qquad \cos(w)=\frac{e^{iw}+e^{-iw}}{2}.
O que isso significa: a exponenciação e^{u} está bem definida para u\in\mathbb{C} e vale a mesma regra de potências \,e^{a+b}=e^a e^b para números complexos a,b. Além disso, para ângulos reais vale a fórmula de Euler e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta; em particular,
e^{i\frac{\pi}{2}}=\cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right)+i\sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=0+i\cdot1=i,
e portanto também
e^{-i\frac{\pi}{2}}=-i.
Esses valores de e^{\pm i\pi/2} serão usados nas substituições a seguir. (Se algo disso é novo, pense: definimos seno e cosseno por séries ou por exponenciais; ambas as definições coincidem e funcionam para z complexo.)

Passo 3

Provar \operatorname{sen}(z)=\cos\!\left(\frac{\pi}{2}-z\right) fazendo as substituições a partir das definições. Começamos escrevendo o cosseno em termos de exponenciais:
\cos\!\left(\frac{\pi}{2}-z\right) = \frac{e^{\,i\left(\frac{\pi}{2}-z\right)}+e^{-\,i\left(\frac{\pi}{2}-z\right)}}{2}.
Usamos a propriedade e^{A+B}=e^A e^B para separar o fator envolvendo \frac{\pi}{2}:
\cos\!\left(\frac{\pi}{2}-z\right) = \frac{e^{i\frac{\pi}{2}} e^{-iz} + e^{-i\frac{\pi}{2}} e^{iz}}{2}.
Agora substituímos e^{i\frac{\pi}{2}}=i e e^{-i\frac{\pi}{2}}=-i:
\cos\!\left(\frac{\pi}{2}-z\right) = \frac{i\,e^{-iz} + (-i)\,e^{iz}}{2} = \frac{i\bigl(e^{-iz}-e^{iz}\bigr)}{2}.
Fatoramos um -1 dentro do parêntese para reescrever:
\frac{i\bigl(e^{-iz}-e^{iz}\bigr)}{2} = \frac{-i\bigl(e^{iz}-e^{-iz}\bigr)}{2}.
Agora lembramos a forma de \operatorname{sen}(z):
\operatorname{sen}(z)=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}.
Compare com a expressão acima; multiplicando numerador e denominador de \operatorname{sen}(z) por -i dá exatamente a forma encontrada:
\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i} = \frac{-i\bigl(e^{iz}-e^{-iz}\bigr)}{2}.
Portanto
\cos\!\left(\frac{\pi}{2}-z\right)=\operatorname{sen}(z).

Passo 4

Provar \cos(z)=\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{2}-z\right) de maneira análoga. Escrevemos o seno em termos de exponenciais:
\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{2}-z\right) = \frac{e^{\,i\left(\frac{\pi}{2}-z\right)}-e^{-\,i\left(\frac{\pi}{2}-z\right)}}{2i}.
Separamos os fatores com \frac{\pi}{2}:
\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{2}-z\right) = \frac{e^{i\frac{\pi}{2}} e^{-iz} - e^{-i\frac{\pi}{2}} e^{iz}}{2i}.
Substituindo e^{i\frac{\pi}{2}}=i e e^{-i\frac{\pi}{2}}=-i:
\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{2}-z\right) = \frac{i\,e^{-iz} - (-i)\,e^{iz}}{2i} = \frac{i\bigl(e^{-iz}+e^{iz}\bigr)}{2i}.
Cancelamos o fator i (não zero) no numerador e denominador:
\frac{i\bigl(e^{-iz}+e^{iz}\bigr)}{2i} = \frac{e^{-iz}+e^{iz}}{2} = \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2},
que é exatamente a definição de \cos(z). Logo
\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{2}-z\right)=\cos(z).

Passo 5

Resumo e interpretação rápida (ânimo!): mostramos as duas identidades apenas usando as definições por exponenciais complexas e a propriedade e^{A+B}=e^A e^B, além do valor de e^{\pm i\pi/2}. As contas não usam que z seja real, por isso as identidades valem para todo z\in\mathbb{C}. Isso é bom: as relações trigonométricas clássicas estendem-se naturalmente ao plano complexo.

Resposta

\operatorname{sen}(z)=\cos\!\left(\frac{\pi}{2}-z\right)
\cos(z)=\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{2}-z\right)

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