Prove que para todos
e
vale que:
.
Passo 1
O enunciado pede para provar que, para quaisquer
e quaisquer
, vale a identidade
Informações dadas: os pontos
são quaisquer complexos e
são quaisquer reais. A tarefa é demonstrar a igualdade anterior para todo
.
Passo 2
Vamos usar as definições das funções hiperbólicas em termos da função exponencial (essas definições valem tanto para argumentos reais quanto complexos). Para todo
definimos:
Explicação: a função exponencial
está bem definida para
e satisfaz a propriedade multiplicativa
para quaisquer
. Em particular,
.
Passo 3
Escrevemos a diferença pedida em termos das exponenciais substituindo as definições:
Colocando em uma única fração:
Passo 4
Agora usamos uma identidade algébrica simples para o numerador. Seja
e
. Então
Subtraindo termo a termo obtemos
Passo 5
Voltando aos expoentes, com
e
temos
Usando a propriedade da exponencial
, segue que
Passo 6
Substituindo o resultado do numerador na fração do Passo 3:
Portanto a identidade vale para todo
. Como
são casos particulares de
, a igualdade vale também para eles.