Prove que para todos z, z_{1}, z_{2} \in \mathbb{C} e x, y \in \mathbb{R} vale que:
\operatorname{cosh} ^{2}(z)-\operatorname{senh}^{2}(z)=1.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, para quaisquer \,z, z_{1}, z_{2} \in \mathbb{C}\, e quaisquer \,x,y \in \mathbb{R}\,, vale a identidade
\operatorname{cosh}^{2}(z) - \operatorname{senh}^{2}(z) = 1.
Informações dadas: os pontos \,z, z_{1}, z_{2}\, são quaisquer complexos e \,x,y\, são quaisquer reais. A tarefa é demonstrar a igualdade anterior para todo \,z.

Passo 2

Vamos usar as definições das funções hiperbólicas em termos da função exponencial (essas definições valem tanto para argumentos reais quanto complexos). Para todo \,z\in\mathbb{C}\, definimos:
\operatorname{cosh} z = \frac{e^{z}+e^{-z}}{2},
\operatorname{senh} z = \frac{e^{z}-e^{-z}}{2}.
Explicação: a função exponencial e^{w} está bem definida para w\in\mathbb{C} e satisfaz a propriedade multiplicativa
e^{a}\,e^{b} = e^{a+b}
para quaisquer a,b\in\mathbb{C}. Em particular, e^{z}e^{-z}=e^{0}=1.

Passo 3

Escrevemos a diferença pedida em termos das exponenciais substituindo as definições:
\operatorname{cosh}^{2}(z) - \operatorname{senh}^{2}(z) = \left(\frac{e^{z}+e^{-z}}{2}\right)^{2} - \left(\frac{e^{z}-e^{-z}}{2}\right)^{2}.
Colocando em uma única fração:
\operatorname{cosh}^{2}(z) - \operatorname{senh}^{2}(z) = \frac{(e^{z}+e^{-z})^{2} - (e^{z}-e^{-z})^{2}}{4}.

Passo 4

Agora usamos uma identidade algébrica simples para o numerador. Seja A=e^{z} e B=e^{-z}. Então
(A+B)^{2} - (A-B)^{2} = \big(A^{2}+2AB+B^{2}\big) - \big(A^{2}-2AB+B^{2}\big).
Subtraindo termo a termo obtemos
(A+B)^{2} - (A-B)^{2} = 4AB.

Passo 5

Voltando aos expoentes, com A=e^{z} e B=e^{-z} temos
(A+B)^{2} - (A-B)^{2} = 4\,e^{z}\,e^{-z}.
Usando a propriedade da exponencial e^{z}e^{-z}=e^{z+(-z)}=e^{0}=1, segue que
(A+B)^{2} - (A-B)^{2} = 4\cdot 1 = 4.

Passo 6

Substituindo o resultado do numerador na fração do Passo 3:
\operatorname{cosh}^{2}(z) - \operatorname{senh}^{2}(z) = \frac{4}{4} = 1.
Portanto a identidade vale para todo \,z\in\mathbb{C}\,. Como \,x,y\in\mathbb{R}\, são casos particulares de z\in\mathbb{C}, a igualdade vale também para eles.

Resposta

\operatorname{cosh}^{2}(z)-\operatorname{senh}^{2}(z)=1

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