Prove que para todos
e
vale que:
e
.
Passo 1
O enunciado pede para provar duas identidades que relacionam funções trigonométricas com funções hiperbólicas, para quaisquer
e
. As identidades que devemos mostrar são:
e
Informações dadas: temos um número complexo genérico
(os outros
não são necessários explicitamente na prova, basta saber que
é arbitrário em
). A resolução começa a seguir.
Passo 2
Vou usar definições pelas exponenciais complexas, que são as definições padrão estendidas do caso real para o caso complexo. Explico cada definição para você não ficar perdido.
Definições (válidas para qualquer
):
Essas fórmulas vêm da fórmula de Euler e da extensão analítica das funções trigonométricas ao plano complexo; elas são usadas porque manipulam exponenciais de forma direta.
Definições das funções hiperbólicas (também válidas para qualquer
):
Agora que temos as definições, vamos substituir
nas fórmulas de
e
e transformar as expressões até obter as hiperbólicas.
Passo 3
Calculemos
usando a definição exponencial de
. Substituindo
obtemos:
Agora simplificamos as potências:
e
. Portanto
Reescrevendo
. Para transformar o fator fora da diferença em
, usamos a identidade
. Assim
Aplicando isso à expressão:
Pelo formato da definição de
temos
. Portanto chegamos a
Passo 4
Agora façamos
. Partimos da definição exponencial de
e substituímos
:
Como em
Passo 5
Pelo formato da definição de
,
. Logo
Passo 6
Para reforçar a intuição, mostro rapidamente a verificação via séries de Taylor (opcional, mas didático). As séries são:
Substituindo
em
:
Como
, temos
Analogamente para
os sinais se cancelam e obtemos
. Isso confirma as identidades por outra via.
Passo 7
Resumo final e observação: as igualdades valem para qualquer
porque as definições exponenciais e as séries convergem no plano complexo. Se você ficar na prova com dúvida, a forma mais direta é lembrar das definições exponenciais e substituir
como fizemos — é curto e seguro.