Prove que para todos z, z_{1}, z_{2} \in \mathbb{C} e x, y \in \mathbb{R} vale que:
\operatorname{sen}(i z)=i \operatorname{senh}(z) e \cos (i z)=\operatorname{cosh} (z).

Passo 1

O enunciado pede para provar duas identidades que relacionam funções trigonométricas com funções hiperbólicas, para quaisquer z,z_{1},z_{2}\in\mathbb{C} e x,y\in\mathbb{R}. As identidades que devemos mostrar são:
\sin(i z)=i\,\operatorname{sinh}(z)
e
\cos(i z)=\operatorname{cosh}(z).
Informações dadas: temos um número complexo genérico z (os outros z_{1},z_{2},x,y não são necessários explicitamente na prova, basta saber que z é arbitrário em \mathbb{C}). A resolução começa a seguir.

Passo 2

Vou usar definições pelas exponenciais complexas, que são as definições padrão estendidas do caso real para o caso complexo. Explico cada definição para você não ficar perdido.
Definições (válidas para qualquer w\in\mathbb{C}):
\sin(w)=\frac{e^{i w}-e^{-i w}}{2i},
\cos(w)=\frac{e^{i w}+e^{-i w}}{2}.
Essas fórmulas vêm da fórmula de Euler e da extensão analítica das funções trigonométricas ao plano complexo; elas são usadas porque manipulam exponenciais de forma direta.
Definições das funções hiperbólicas (também válidas para qualquer w\in\mathbb{C}):
\operatorname{sinh}(w)=\frac{e^{w}-e^{-w}}{2},
\operatorname{cosh}(w)=\frac{e^{w}+e^{-w}}{2}.
Agora que temos as definições, vamos substituir w=iz nas fórmulas de \sin e \cos e transformar as expressões até obter as hiperbólicas.

Passo 3

Calculemos \sin(i z) usando a definição exponencial de \sin. Substituindo w=iz obtemos:
\sin(i z)=\frac{e^{i(i z)}-e^{-i(i z)}}{2i}.
Agora simplificamos as potências: i(i z)=i^{2}z=-z e -i(i z)=-i^{2}z=+z. Portanto
\sin(i z)=\frac{e^{-z}-e^{z}}{2i}.
Reescrevendo \frac{e^{-z}-e^{z}}{2i}=-\frac{e^{z}-e^{-z}}{2i}. Para transformar o fator fora da diferença em i/2, usamos a identidade 1/i=-i. Assim
-\frac{1}{2i}=\frac{i}{2}.
Aplicando isso à expressão:
\sin(i z)=-\frac{e^{z}-e^{-z}}{2i}= \frac{i}{2}\,(e^{z}-e^{-z})=i\,\frac{e^{z}-e^{-z}}{2}.
Pelo formato da definição de \operatorname{sinh} temos \operatorname{sinh}(z)=\dfrac{e^{z}-e^{-z}}{2}. Portanto chegamos a
\sin(i z)=i\,\operatorname{sinh}(z).

Passo 4

Agora façamos \cos(i z). Partimos da definição exponencial de \cos e substituímos w=iz:
\cos(i z)=\frac{e^{i(i z)}+e^{-i(i z)}}{2}.
Como em

Passo 5

\cos(i z)=\frac{e^{-z}+e^{z}}{2}.
Pelo formato da definição de \operatorname{cosh}, \operatorname{cosh}(z)=\dfrac{e^{z}+e^{-z}}{2}. Logo
\cos(i z)=\operatorname{cosh}(z).

Passo 6

Para reforçar a intuição, mostro rapidamente a verificação via séries de Taylor (opcional, mas didático). As séries são:
\sin(w)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{w^{2n+1}}{(2n+1)!},\qquad \cos(w)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{w^{2n}}{(2n)!},
\operatorname{sinh}(w)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{w^{2n+1}}{(2n+1)!},\qquad \operatorname{cosh}(w)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{w^{2n}}{(2n)!}.
Substituindo w=iz em \sin(w):
\sin(i z)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{(i z)^{2n+1}}{(2n+1)!} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{i^{2n+1} z^{2n+1}}{(2n+1)!}.
Como i^{2n+1}=i\cdot(i^{2})^{n}=i\cdot(-1)^{n}, temos
\sin(i z)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{i(-1)^{n} z^{2n+1}}{(2n+1)!} =i\sum_{n=0}^{\infty}\frac{ z^{2n+1}}{(2n+1)!}=i\,\operatorname{sinh}(z).
Analogamente para \cos(i z) os sinais se cancelam e obtemos \cos(i z)=\operatorname{cosh}(z). Isso confirma as identidades por outra via.

Passo 7

Resumo final e observação: as igualdades valem para qualquer z\in\mathbb{C} porque as definições exponenciais e as séries convergem no plano complexo. Se você ficar na prova com dúvida, a forma mais direta é lembrar das definições exponenciais e substituir w=iz como fizemos — é curto e seguro.

Resposta

\sin(i z)=i\,\operatorname{sinh}(z)
\cos(i z)=\operatorname{cosh}(z)

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