Prove que a transformação dada é linear, usando a definição.
Passo 1
O enunciado define a aplicação
Queremos mostrar que
é linear, ou seja, que para quaisquer vetores
e escalar
valem
-
(aditividade) -
(homogeneidade)
Passo 2
Verificação da aditividade.
Sejam
Sejam
Então
e
Reagrupando os termos:
Passo 3
Verificação da homogeneidade.
Seja e
. Então
Seja
e
Fatorando
em cada componente:
Passo 4
Como mostramos que tanto
quanto
para quaisquer
e
, concluímos pela definição que
é uma transformação linear.
Resposta
A transformação
é linear.