Prove que a transformação dada é linear, usando a definição.
Passo 1
O enunciado define a aplicação
Para provar que
é linear usando a definição, basta verificar as propriedades de aditividade
e de homogeneidade
para quaisquer
e
.
Passo 2
Sejam
e
. Então
e
Expandindo coordenada a coordenada:
Por outro lado,
logo
Portanto
o que prova a aditividade.
Passo 3
Seja
e
. Então
e
Fatorando
em cada coordenada:
Isso mostra a homogeneidade.
Passo 4
Como verificamos ambas as propriedades de aditividade e homogeneidade, concluímos que
é transformação linear por definição.
Resposta
A transformação
é linear.