Prove que a transformação dada é linear, usando a definição.
T(x, y)=(-x, x+2 y, 3 x-4 y)

Passo 1

O enunciado define a aplicação
T\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3,\quad T(x,y)=(-x,\;x+2y,\;3x-4y).
Para provar que T é linear usando a definição, basta verificar as propriedades de aditividade
T(u+v)=T(u)+T(v)
e de homogeneidade
T(\alpha u)=\alpha\,T(u),
para quaisquer u,v\in\mathbb{R}^2 e \alpha\in\mathbb{R}.

Passo 2

Sejam u=(x_1,y_1) e v=(x_2,y_2). Então
u+v=(x_1+x_2,\;y_1+y_2)
e
T(u+v)=T(x_1+x_2,\;y_1+y_2) =\bigl(-(x_1+x_2),\;(x_1+x_2)+2(y_1+y_2),\;3(x_1+x_2)-4(y_1+y_2)\bigr).
Expandindo coordenada a coordenada:
T(u+v)=\bigl(-x_1-x_2,\;x_1+x_2+2y_1+2y_2,\;3x_1+3x_2-4y_1-4y_2\bigr).
Por outro lado,
T(u)=(-x_1,\;x_1+2y_1,\;3x_1-4y_1), \quad T(v)=(-x_2,\;x_2+2y_2,\;3x_2-4y_2),
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T(u)+T(v) =\bigl(-x_1-x_2,\;x_1+x_2+2y_1+2y_2,\;3x_1+3x_2-4y_1-4y_2\bigr).
Portanto
T(u+v)=T(u)+T(v),
o que prova a aditividade.

Passo 3

Seja \alpha\in\mathbb{R} e u=(x,y). Então
\alpha u=(\alpha x,\;\alpha y)
e
T(\alpha u) =T(\alpha x,\;\alpha y) =\bigl(-\alpha x,\;\alpha x+2\alpha y,\;3\alpha x-4\alpha y\bigr).
Fatorando \alpha em cada coordenada:
T(\alpha u) =\bigl(\alpha(-x),\;\alpha(x+2y),\;\alpha(3x-4y)\bigr) =\alpha\,(-x,\;x+2y,\;3x-4y) =\alpha\,T(x,y).
Isso mostra a homogeneidade.

Passo 4

Como verificamos ambas as propriedades de aditividade e homogeneidade, concluímos que T é transformação linear por definição.

Resposta

A transformação T é linear.

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