Prove que a transformação dada é linear, usando a definição.
T(x, y, z)=(x-y+z, 2 x+y-3 z)

Passo 1

O enunciado define a aplicação
T\colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2, \quad T(x,y,z) = (\,x - y + z,\;2x + y - 3z\,).
Queremos mostrar que T é linear, ou seja, que para quaisquer vetores u,v\in\mathbb{R}^3 e escalar \alpha\in\mathbb{R} valem
  1. T(u+v)=T(u)+T(v) (aditividade)
  2. T(\alpha\,u)=\alpha\,T(u) (homogeneidade)

Passo 2

Verificação da aditividade.
Sejam
u = (x_1,y_1,z_1), \quad v = (x_2,y_2,z_2).
Então
u+v = (\,x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2\,)
e
T(u+v) = \bigl((x_1+x_2)-(y_1+y_2)+(z_1+z_2)\,,\, 2(x_1+x_2)+(y_1+y_2)-3(z_1+z_2)\bigr).
Reagrupando os termos:
T(u+v) = \bigl((x_1-y_1+z_1)+(x_2-y_2+z_2)\,,\,(2x_1+y_1-3z_1)+(2x_2+y_2-3z_2)\bigr)
= (\,x_1-y_1+z_1,\;2x_1+y_1-3z_1\,)+(x_2-y_2+z_2,\;2x_2+y_2-3z_2) = T(u)+T(v).

Passo 3

Verificação da homogeneidade.
Seja \alpha\in\mathbb{R} e u=(x,y,z). Então
\alpha\,u = (\alpha x,\;\alpha y,\;\alpha z)
e
T(\alpha\,u) = \bigl(\alpha x - \alpha y + \alpha z,\;2(\alpha x) + \alpha y - 3(\alpha z)\bigr) = \bigl(\alpha(x - y + z),\;\alpha(2x + y - 3z)\bigr).
Fatorando \alpha em cada componente:
T(\alpha\,u) = \alpha\,(x - y + z,\;2x + y - 3z) = \alpha\,T(u).

Passo 4

Como mostramos que tanto T(u+v)=T(u)+T(v) quanto T(\alpha\,u)=\alpha\,T(u) para quaisquer u,v\in\mathbb{R}^3 e \alpha\in\mathbb{R}, concluímos pela definição que T é uma transformação linear.

Resposta

A transformação T é linear.

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