Prove que
, para
e
quaisquer.
Passo 1
Resumo do enunciado: queremos mostrar que a operação de diferença simétrica entre dois conjuntos é comutativa, ou seja, que para quaisquer conjuntos A e B vale
. O conteúdo envolve definição de diferença de conjuntos e argumentos lógicos de pertencer.
Passo 2
Vamos lembrar a definição de diferença simétrica:
onde
e análoga para
.
Passo 3
Prova elemento a elemento: escolhemos um elemento arbitrário
. Vamos mostrar
- Se
, então . - Se
, então .
Começando por (1):
Passo 4
Mas a disjunção e a conjunção são comutativas, então podemos escrever
Passo 5
E o lado direito é exatamente a condição para
.
Como o elemento foi escolhido de forma arbitrária, concluímos que todo
pertence a
se e somente se pertence a
.
Logo, por definição de igualdade de conjuntos, temos
Como o elemento
Logo, por definição de igualdade de conjuntos, temos