Prove que A triang<= B=B triang<= A, para A e B quaisquer.

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos mostrar que a operação de diferença simétrica entre dois conjuntos é comutativa, ou seja, que para quaisquer conjuntos A e B vale Atriang<= B = Btriang<= A. O conteúdo envolve definição de diferença de conjuntos e argumentos lógicos de pertencer.

Passo 2

Vamos lembrar a definição de diferença simétrica:
Atriang<= B = (Asetminus B) cup (Bsetminus A)
onde
Asetminus B = x mid xin A land xnotin B
e análoga para Bsetminus A.

Passo 3

Prova elemento a elemento: escolhemos um elemento arbitrário x. Vamos mostrar
  1. Se xin Atriang<= B, então xin Btriang<= A.
  2. Se xin Btriang<= A, então xin Atriang<= B.
Começando por (1):
xin Atriang<= B iff (xin A land xnotin B) ;lor; (xin B land xnotin A)

Passo 4

Mas a disjunção e a conjunção são comutativas, então podemos escrever
(xin A land xnotin B) ;lor; (xin B land xnotin A) = (xin B land xnotin A) ;lor; (xin A land xnotin B)

Passo 5

E o lado direito é exatamente a condição para xin Btriang<= A.
Como o elemento x foi escolhido de forma arbitrária, concluímos que todo x pertence a Atriang<= B se e somente se pertence a Btriang<= A.
Logo, por definição de igualdade de conjuntos, temos
Atriang<= B = Btriang<= A

Resposta

Atriang<= B = Btriang<= A

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