Prove que U cup A=U, onde U é o conjunto universal.

Passo 1

Beleza, o exercício pede que a gente prove que
U cup A = U
onde é o conjunto universal (ou seja, o “universo” de todos os elementos possíveis) e é um conjunto qualquer.
Conteúdo: teoria de conjuntos – união, subconjunto e igualdade de conjuntos.
O que vamos usar:
  1. Definição de união: se e só se ou .
  2. Definição de conjunto universal: todo conjunto que consideramos está contido em , logo .
  3. Igualdade de conjuntos por duplo inclusion (extensionalidade): provar e implica .

Passo 2

Mostrar Ucup A subseteq U .
  1. Pegue um elemento qualquer .
  2. Pela definição de união, isso significa que ou .
  3. Como (lembra que é universal?), se também teremos .
  4. Então, em qualquer caso, .
    Logo todo está em , ou seja,

Passo 3

Mostrar U subseteq Ucup A .
  1. Pegue um elemento qualquer .
  2. Pela definição de união, se então claramente (basta ver que a união pega tudo de mais tudo de ).
  3. Logo

Passo 4

Concluir a igualdade.
Já provamos
Ucup A subseteq U e U subseteq Ucup A
Pela definição de igualdade de conjuntos (extensionalidade), isso basta para concluir
Ucup A = U

Resposta

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