Prove que
, onde
é o conjunto universal.
Passo 1
Beleza, o exercício pede que a gente prove que
onde
é o conjunto universal (ou seja, o “universo” de todos os elementos possíveis) e
é um conjunto qualquer.
Conteúdo: teoria de conjuntos – união, subconjunto e igualdade de conjuntos.
O que vamos usar:
Conteúdo: teoria de conjuntos – união, subconjunto e igualdade de conjuntos.
O que vamos usar:
- Definição de união:
se e só se ou . - Definição de conjunto universal: todo conjunto
que consideramos está contido em , logo . - Igualdade de conjuntos por duplo inclusion (extensionalidade): provar
e implica .
Passo 2
Mostrar
.
- Pegue um elemento qualquer
. - Pela definição de união, isso significa que
ou . - Como
(lembra que é universal?), se também teremos . - Então, em qualquer caso,
.
Logo todoestá em , ou seja,
Passo 3
Mostrar
.
- Pegue um elemento qualquer
. - Pela definição de união, se
então claramente (basta ver que a união pega tudo de mais tudo de ). - Logo
Passo 4
Concluir a igualdade.
Já provamos
Já provamos
Pela definição de igualdade de conjuntos (extensionalidade), isso basta para concluir